高考调研数学5-3

课时作业(二十七)1．(2012·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝2，则a在b方向上的投影为()A.3B.2C.22D.32答案C解析∵a在b方向上的投影为|a|·cosa，b＝2cosπ3＝22.选C.2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，若|c|＝26，且a·b＝a·c，则c＝()A．(－4,7)B．(－5,1)C．(5,1)D．(2,4)答案C解析设c＝(x，y)，|c|＝26，∴x2＋y2＝26①∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②联立①②，解之得x＝5y＝1.3．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为()A.3223B.2343C.2942D.2116答案C解析由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝2942.4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是()A.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→B.OA→·OB→OB→·OC→OC→·OA→C.OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→D.OA→·OB→OB→·OC→＝OC→·OA→答案A解析如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，则OA→＝(－1,2)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(－1，－1)，OA→·OB→＝－5，OA→·OC→＝－1，OB→·OC→＝－2.5．(2011·广东理)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0答案D解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.6．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值等于()A．25B．24C．－25D．－24答案C解析∵|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，∴|CA→|2＝|AB→|2＋|BC→|2，故∠B＝90°.则有AB→·BC→＝0.由BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(π－C)＝4×5×(－45)＝－16，CA→·AB→＝|CA→||AB→|cos(π－A)＝5×3×(－35)＝－9，则原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25.7．(2011·全国课标理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|1⇔θ∈[0，2π3)p2：|a＋b|1⇔θ∈(2π3，π]p3：|a－b|1⇔θ∈[0，π3)p4：|a－b|1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4答案A解析由|a＋b|1可得：a2＋2a·b＋b21，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b－12，故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a·b－12，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b21，即|a＋b|1；由|a－b|1可得：a2－2a·b＋b21，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b12，故θ∈(π3，π]，反之也成立，选A.8．(2011·辽宁理)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2答案B解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≥1，故|a＋b－c|≤1.9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则NO→·(NA→＋NB→)＝________.答案－2解析如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法则，可得NA→＋NB→＝NC→＝OM→，而NO→＝－12OM→，所以NO→·(NA→＋NB→)＝－12|OM→|2＝－2.10．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于________．答案(12，32)解析令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则x2＋y2＝1，y≠0①3x＋y＝3，②将②代入①知x2＋(3－3x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝12⇒y＝32.11．(2011·湖南理)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.答案－14解析根据已知AD→＝12(AB→＋AC→)，BE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·(23AC→－AB→)＝12(23－1－13AB→·AC→)＝－14.12．(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．答案54解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1·e2－2ke1·e2－2e22＝0，即k＋cos2π3－2kcos2π3－2＝0，化简可求得k＝54.13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，作△ABC，求△ABC的面积．答案(1)120°(2)13，37(3)33解析(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.同理，|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝37.(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→|·|AB→|·sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.14．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．答案(－7，－142)∪(－142，－12)解析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得2t2＋15t＋70，解得－7t－12，当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可求得2t＝λ，7＝λt，λ0，∴λ＝－14，t＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．15．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|1(k∈R)，求k的取值范围．解析(1)证明∵(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)解析|ka＋b＋c|1⇔|ka＋b＋c|21，⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c1.∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c的夹角均为120°，∴a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝－12，∴k2－2k0，∴k2或k0.1．(2012·东北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ等于()A．－1B．1C．－2D．2答案B解析依题意得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，(λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3)＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，λ＝1，选B.2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝________.答案5解析依题意得b＝－2a，所以|3a＋b|＝|a|＝5.3.(2012·沧州七校联考)如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴(含原点)上滑动，则OB→·OC→的最大值是________．答案2解析OB→·OC→＝(OA→＋AB→)·(OD→＋DC→)＝OA→·OD→＋OA→·DC→＋AB→·OD→＋AB→·DC→，又因为OA→⊥OD→，AB→＝DC→，∴OB→·OC→＝OA→·AB→＋OD→·AB→＋1＝AB→·(OA→＋OD→)＋1≤|AB→||OA→＋OD→|＋1＝1×1＋1＝2.4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．答案2解析解法一：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ.又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是2.故填2.解法二：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：(x－12)2＋(y－12)2＝12，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是2.故填2.解法三：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是2.故填2.5．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA→·(OB→＋OC→)的最小值是________．答案－2解析解法一如图所示，由题易得OC→＝OM→＋MC→OB→＝OM→＋MB→MC→＝－MB→⇒OA→·(OB→＋OC→)＝OA→·2OM→＝2|OA→||OM→|·cos180°＝－2|OA→||OM→|.又∵|OA→|＋|OM→|＝2，∴|OA→||OM→|≤(|OA→|＋|OM→|2)2＝1(当且仅当|OA→|＝|OM→|时取等号)．∴OA→·(OB→＋OC→)＝－2|OA→||OM→|≥－2，即O为AM中点时，OA→·(OB→＋OC→)取最小值为－2.解法二令|OM→|＝x且0≤x≤2，则|OA→|＝2－x.OA→·(OB→＋OC→)＝OA→·2OM→＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴OA→·(OB→＋OC→)的最小值为－2.1．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A．9B．4C．0D．－4答案A解析因为向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，所以a－b＝(1－x，4)，又因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即1×(1－x)＋2×4＝0，解得x＝9，故选A.2．(2012·郑州第一次质测)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a、b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝32，∴a·b＝|a||b|cosa，b＝12，cosa，b＝12，a，b＝60