高考调研数学6-2

课时作业(三十)1．(2012·温州十校)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()A．12B．18C．22D．44答案C解析由题可知S11＝11a1＋a112＝11a2＋a102＝11×42＝22，故选C.2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝3π2，则sin(2a4－π3)＝()A.32B.12C．－32D．－12答案D解析∵a2＋a6＝3π2，∴2a4＝3π2，∴sin(2a4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cosπ3＝－12，选D.3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝()A．2n－3B．2n－1C．2n＋1D．2n＋3答案C解析由a4＝9S3＝15⇒a1＋3d＝93a1＋3d＝15⇒a1＝3d＝2，所以通项an＝2n＋1.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2a2m＝0，S2m－1＝39，则m＝()A．38B．39C．20D．19答案C解析∵am－1＋am＋1＝2a2m，又∵am－1＋am＋1＝2am，∴am＝1或0(舍去)．∵S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am，∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39，∴m＝20.5．(2012·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15答案B解析由S5＝a2＋a4·52⇒25＝3＋a4·52⇒a4＝7，所以7＝3＋2d⇒d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13，故选B.6．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若11＋an是等差数列，则a11等于()A．0B.16C.13D.12答案A解析记bn＝11＋an，则b3＝13，b5＝12，数列{bn}的公差为12×(12－13)＝112，b1＝16，∴bn＝n＋112，即11＋an＝n＋112，∴an＝11－nn＋1，故a11＝0.7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于()A．7B.23C.278D.214答案D解析a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．(2011·湖北文)《九章算术》“竹九节”问题：现在一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B.6766升C.4744D.3733升答案B解析设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝33a1＋21d＝4，解得a1＝1322d＝766，则a5＝6766，故第5节的容积为6766升，选B.9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．答案4解析设数列{an}的公差为d，则依题意，得a4＝a1＋3d＝15S5＝5a1＋10d＝55⇒a1＝3d＝4，故直线PQ的斜率为a4－a34－3＝d1＝4.10．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20＝20，则a41＋a42＋…＋a50＝________.答案50解析(1)解法一(方程组法)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋…＋a10＝10a1＋45d，a11＋a12＋…＋a20＝10a1＋145d.即10a1＋45d＝10，10a1＋145d＝20，解得d＝110，a1＝1120.∴a41＋a42＋…＋a50＝10a1＋445d＝50.解法二(整体替换)设数列{an}的公差为d，记b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋a20，b3＝a41＋a42＋…＋a50，由等差数列的定义，可知an＋1－an＝d，故b2－b1＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d，所以100d＝20－10，解得d＝110.而b3－b1＝(a41－a1)＋(a42－a2)＋…＋(a50－a10)＝40d＋40d＋…＋40d＝400d，即b3－b1＝400×110＝40.所以b3＝b1＋40＝10＋40＝50.11．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，S20092009－S20072007＝2，则S2010的值为________．答案－2010解析在等差数列{an}中，设公差为d，则Snn＝na1＋n2n－1dn＝a1＋d2(n－1)，∴S20092009－S20072007＝a1＋d2×2008－a1－d2×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋2010×20092×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010.12．方程(x2－x＋m)(x2－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，则mn的值为________．答案－15256解析设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有x1＋x4＝x2＋x3＝1，∴2x1＋3d＝1，又d＝12，∴x1＝－14.∴x2＝14，x3＝34，x4＝54.∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－15256.13．(2010·浙江文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．答案(1)S6＝－3，a1＝7(2)d≤－22或d≥22解析(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.14．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a110，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．答案(1)an＝22－2n(2)an＝12－n和an＝13－n解(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，….(2)由S14≤77a110a1≥6，得2a1＋13d≤11a1＋10d0a1≥6，即2a1＋13d≤11①－2a1－20d0，②－2a1≤－12③由①＋②得－7d11，即d－117.由①＋③得13d≤－1，即d≤－113.于是－117d≤－113.又d∈Z，故d＝－1.④将④代入①②得10a1≤12.又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，….15．已知等差数列{an}中，公差d0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式．(2)令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．分析本题第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件a2·a3＝45，a1＋a5＝18建立方程组不难求得；本题第(2)问是构造一个等差数列{bn}，可考虑利用等差数列的定义，研究使bn＋1－bn(n∈N*)为一个常数时需要满足的条件．解析(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d0，则由a2a3＝45，a1＋a5＝18，得a1＋da1＋2d＝45，a1＋a1＋4d＝18.解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝Snn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．1．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A．a21·a22B．a22·a23C．a23·a24D．a24·a25答案C解析由3an＋1＝3an－2，得an＋1＝an－23，即数列{an}是以a1＝15为首项，－23为公差的等差数列，所以an＝15－23(n－1)＝47－2n3，可得a230，a240，即得a23·a240，故选C.2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．34答案B解析由已知可得a1＋5d＝25a1＋10d＝30，解得a1＝263d＝－43，所以S8＝8a1＋8×72d＝32.3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为()A.94B.32C.54D．4答案A解析设数列{an}的公差为d.依题意得S4＝4×1＋4×32d＝4＋6d，S2＝2＋d，且S4＝4S2，即4＋6d＝4(2＋d)，d＝2，S6＝6×1＋6×52d＝36，S4＝16，S6S4＝3616＝94，选A.4．(2011·天津文)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．答案110解析设{an}的首项，公差分别是a1，d，则a1＋2d＝1620a1＋20×20－12×d＝20，解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.5．(2011·《高考调研》原创题)已知An＝{x|2nx2n＋1且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为()A．792B．890C．891D．990答案C解析∵A6＝{x|26x27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素x＝m＝9各数成一首项为71，公差为7的等差数列，∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.6．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值是________．答案25解析方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意：20a1＋20×192×d＝100，即a1＝5－9.5d，又a7·a14＝(a1＋6d)(a1＋13d)＝(6d＋5－9.5d)(5－9.5d＋13d)＝25－12.25d2，所以a7·a14的最大值为25.方法二∵a7＋a14＝a1＋a20＝10，∴a7·a14≤(a7＋a142)2＝25.1．等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15等于()A．15B．30C．45D．60答案A解析设数列{an}的公差为d，则6a1＋15d＝2,9a1＋36d＝5，解得d＝427，a1＝－127，所以S15＝15×(－127)＋15×142×427＝－15＋42027＝15.2．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.答案－12解析根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－12.3．(2006·重庆)若{an}是等差数列，首项a10，a2003＋a20040，a2003·a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．4005B．4006C．4007D．4008答案B解