高考调研数学8-6

课时作业(四十四)1．已知向量a＝(8，12x，x)，b＝(x,1,2)，其中x0.若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．0答案B解析因x＝8,2,0时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.另解：a∥b⇔存在λ0使a＝λb⇔(8，x2，x)＝(λx，λ，2λ)⇔λx＝8x2＝λx＝2λ⇔λ＝2x＝4.∴选B.2．已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝OA→＋OB→＋OC→，向量b＝OA→＋OB→－OC→，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.OA→B.OB→C.OC→D.OA→或OB→答案C解析根据题意得OC→＝12(a－b)，∴OC→，a，b共面．3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB|＝34，则B点坐标为()A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)C．(6，72，1)D．(－2，－112，13)答案A解析设B点坐标为(x，y，z)，则AB→＝λa(λ0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，由|AB→|＝34，即λ264＋λ281＋λ2144＝34，得λ＝2，∴x＝18，y＝17，z＝－17.4．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于()A.AG→B.CG→C.BC→D.12BC→答案A解析依题意有AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12·2BG→＝AG→.5．已知四边形ABCD满足AB→·BC→0，BC→·CD→0，CD→·DA→0，DA→·AB→0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形答案D解析由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．6．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若OA→＋OB→＋OC→＝λOG→，则λ等于()A．1B．3C.13D．2答案B解析若设BC边的中点为M，则OA→＋OB→＋OC→＝OA→＋2OM→＝OG→＋GA→＋2OM→＝OG→＋2MG→＋2OM→＝3OG→，而OA→＋OB→＋OC→＝λOG→，所以λ＝3.7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是()A．90°B．60°C．30°D．0°答案D解析如上图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为a，则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，∴DA1→＝(a,0，a)，AC→＝(－a，a,0)，BD1→＝(－a，－a，a)．∵EF是直线AC与A1D的公垂线．∴EF→⊥DA1→，EF→⊥AC→.设EF→＝(x，y，z)，∴EF→·DA1→＝(x，y，z)·(a,0，a)＝ax＋az＝0，∴EF→·AC→＝(x，y，z)·(－a，a,0)＝－ax＋ay＝0.∵a≠0，∴x＝y＝－z.∴EF→＝(x，x，－x)．∴BD1→＝－axEF→.∴BD1→∥EF→，即BD1∥EF.8.在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．答案12a＋14b＋14c解析OE→＝OA→＋12AD→＝OA→＋12×12(AB→＋AC→)＝OA→＋14×(OB→－OA→＋OC→－OA→)＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①(A1A→＋A1D1→＋A1B1→)2＝3(A1B1→)2②A1C→·(A1B1→－A1A→)＝0.③AD1→与A1B→的夹角为60°④此正方体体积为：|AB→·AA1→·AD→|则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)．答案③④解析③AD1与A1B两异面直线夹角为60°，但AD1→与A1B→的夹角为120°，A1B→＝D1C→，注意方向．④∵AB→·AA1→＝0.正确的应是|AB→|·|AA1→|·|AD→|.10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值为____．答案5解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0)．设P(x,2,2)(0≤x≤2)．则|OP|＝1－x2＋1－22＋0－22＝x－12＋5.所以当x＝1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值5.11．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a.用向量法证明：A′B⊥AC′.解析解法1A′B→＝AB→－AA′→，AC′→＝AB→＋AA′→＋AD→，∴A′B→·AC′→＝(AB→－AA′→)(AB→＋AA′→＋AD→)＝AB2→＋AB→·AA′→＋AB→·AD→－AA′→·AB→－AA′2→－AA′→·AD→由已知|AB→|＝|AA′→|＝a，知AB2→＝AA′2→又AB→·AA′→＝AB→·AD→＝AA′→·AD→＝0∴A′B→·AC′→＝0，即A′B⊥AC′.解法2建立空间直角坐标系，也易证．12．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa＋μb与z轴垂直．答案λ＝2μ解析∵2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)，3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)，a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a|＝32＋52＋－42＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－2150·69＝－7138230，由(λa＋μb)·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0知，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa＋μb与z轴垂直．13．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1⊥BD.解析(1)解如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝a＋b＋c.∴|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|AC1→|＝2.即AC1长为2.(2)解∵AC1→＝a＋b＋c，A1D→＝b－c，∴AC1→·A1D→＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|A1D→|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7.∴|A1D→|＝7.∴cos〈AC1→，A1D→〉＝AC1→·A1D→|AC1→|·|A1D→|＝－22×7＝－147，∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147.(3)证明∵AA1→＝c，BD→＝b－a，∴AA1→·BD→＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴AA1→⊥BD→，即AA1⊥BD.1．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP→＝2OA→－3OB→＋2OC→，则AP→－AO→＝2OA→－3(AB→－AO→)＋2(AC→－AO→)，即AP→＝－3AB→＋2AC→，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理AP→＝mAB→＋nAC→，即OP→－OA→＝m(OB→－OA→)＋n(OC→－OA→)，即OP→＝(1－m－n)OA→＋mOB→＋nOC→，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故是充分不必要条件．故选B.2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，求B、D间的距离．答案2或2解析∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD→＝0.同理BA→·AC→＝0.∵AB和CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或120°.∵BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉＝4〈BA→，CD→〉＝60°，2〈BA→，CD→〉＝120°.∴|BD→|＝2或2，即B、D间的距离为2或2.3．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求|c|＝3，且c∥BC→，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ、μ应满足的关系．答案(1)c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)(2)－1010(3)k＝2或k＝－52(4)λ－μ＝0解析(1)∵c∥BC→，∴c＝mBC→＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3，∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝－12＋02＋22＝5，∴cosa，b＝a·b|a|·|b|＝－110＝－1010，∴a和b夹角的余弦值为－1010.(3)解法一∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－52.解法二由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，∵[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即当λ、μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．1．如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且GN→＝12MG→，现用基向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→，设OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x、y、z的值分别是()A．x＝13，y＝13，z＝13B．x＝13，y＝13，z＝16C．x＝13，y＝16，z＝13D．x＝16，y＝13，z＝13答案D解析因为GN→＝12MG→，所以MG→＝23MN→，所以OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋23(12OB→＋12OC→－12OA→)＝12OA→＋13OB→＋13OC→－13OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→，故选D.