高考调研数学9-3

课时作业(四十九)1．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a－2或a23B．－23a0C．－2a≤0D．－2a23答案D解析方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0转化为(x＋a2)2＋(y＋a)2＝－34a2－a＋1，所以若方程表示圆，则有－34a2－a＋10，∴3a2＋4a－40⇒－2a23.2．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3答案B解析圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析由题意得线段AB的中点C的坐标为(0,0)，直线AB的斜率为kAB＝－1，则过点C且垂直于AB的直线方程y＝x，圆心坐标(x，y)满足y＝xx＋y－2＝0，得y＝x＝1，从而圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2.因此，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是()A．x＝0B．y＝1C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0答案C解析依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，选C.5．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)答案D解析曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|2，故a2，选D.6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1答案A解析依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1，选A.7．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程为()A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝33xD．y＝－32x答案C解析圆x2＋y2＋4x＋3＝0的圆心为P(－2,0)，半径r＝1，如图所示，过原点的直线l切圆于点A，则PA⊥l，|PA|＝1，|OP|＝2，在Rt△PAO中，∠POA＝30°，∴kl＝tan30°＝33，∴l的方程为y＝33x.8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为()A．(x±33)2＋y2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝13答案C解析解法一：(待定系数法)设出圆的方程求解．解法二：(排除法)由圆心在y轴上，则排除A、B，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.9．在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y－1≥0，动点Q在曲线(x－1)2＋y2＝12上，则|MQ|的最小值为()A.2B.322C．1－22D.5－12答案C解析作出平面区域，由图形可知|MQ|的最小值为1－22.10．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，则圆的方程为________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.11．(2012·衡水调研)从原点O向圆：x2＋y2－6x＋274＝0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为________．答案π解析如图，圆C：(x－3)2＋y2＝94，所以圆心C(3,0)，半径r＝32.在Rt△POC中，∠POC＝π6.则劣弧PQ所对圆心角为2π3.弧长为：23π×32＝π.12．已知两点A(－1,0)、B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值是________．答案12(4＋5)，12(4－5)解析如图所示，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝45，故圆上的点P到AB的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB|＝5，所以△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋52和2－52.13．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|，又圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝|3a－a|12＋12，∴有d2＋(7)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2，∴r2＝(|a－b|2)2＋(7)2，即2r2＝(a－b)2＋14①由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.方法三设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.④又圆心(－D2，－E2)到直线x－y＝0的距离为|－D2＋E2|2，由已知，得|－D2＋E2|22＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心(－D2，－E2)在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.14．已知实数x、y满足x2＋y2－2y＝0.(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．答案(1)1－5≤2x＋y≤1＋5(2)c≥2－1解析(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为x＝cosθy＝1＋sinθ，∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，∵－5≤2cosθ＋sinθ≤5，∴1－5≤2x＋y≤5＋1.方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时|2×0＋1－b|5＝1.∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c，∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0，∴c的取值范围为c≥2－1.15．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求AB→的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．答案(1)(6,8)(2)(x－1)2＋(y－3)2＝10解析(1)设AB→＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，AB→·OA→＝0，得x2＋y2＝100，4x－3y＝0，解得x＝6，y＝8，或x＝－6，y＝－8.若AB→＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB0矛盾，所以x＝－6，y＝－8舍去．即AB→＝(6,8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝(10)2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝10，∵OB→＝OA→＋AB→＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB的方程为y＝12x.设圆心C(3，－1)关于直线y＝12x的对称点的坐标为(a，b)，则b＋1a－3＝－2，b－12＝12·a＋32，解得a＝1，b＝3，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.1．如果直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于相异两点A、B，O是坐标原点，|OA→＋OB→||OA→－OB→|，那么实数m的取值范围是()A．(－2，2)B．(2，2)C．(－2，－2)∪(2，2)D．(－2,2)答案C解析由|OA→＋OB→||OA→－OB→|，(OA→＋OB→)2(OA→－OB→)2,4OB→·OA→0，即∠AOB是锐角，点O到直线AB的距离大于1.又直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，因此1|m|22，由此解得－2m－2或2m2，选C.2．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0的距离为d，则d的最小值为________．答案1解析圆心(－1,1)到直线3x－4y－3＝0的距离为2，∴最小值为1，最大值为3.3．已知圆C的方程为x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C必定经过坐标原点；②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限；③y轴被圆C所截得的弦长为2m；④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心．答案①②1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5答案D解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.2．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5答案D解析设圆心为(a,0)(a0)．因为直线x＋2y＝0与圆相切，所以|a＋2×0|12＋22＝5，即|a|5＝5，解得a＝－5.所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.3．(2012·湛江五校联考)有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？解析如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB|＝10，∴A(－5,0)，B(5,0)．设P(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里)．当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格＋A地运费＝价格＋B地运费，∴3a·x＋52＋y2＝a·x－52＋y2.化简整理，得(x＋254)2＋y2＝(154)2.(1)当P点在以(－254，0)为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等．(2)当P点在上述圆内时，∵(x＋254)2＋y2(154)2，∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋