高考调研数学9-5

课时作业(五十一)1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为35.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为()A．10B．12C．16D．20答案D解析如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝ca＝35，即c＝35a，∴a2－c2＝1625a2＝b2＝16，∴a＝5，△ABF2的周长为20.2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是()A.14B.12C．2D．4答案A解析长轴长为2a＝2m，短轴长为2，∴2m＝4.∴m＝14.3．(2012·衡水调研)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.34答案A解析由d1＋d2＝2a＝4c，∴e＝ca＝12.4．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1→·MF2→＝0，则点M到y轴的距离为()A.233B.263C.33D.3答案B解析由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)．设M(x，y)，则MF1→·MF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故x24＋y2＝1，即y2＝1－x24.②将②代入①，得34x2＝2，解得x＝±263.故点M到y轴的距离为263.5．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e∈(12，1)，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B．(3，163)C．(0,3)∪(163，＋∞)D．(0,2)答案C解析当k4时，c＝k－4，由条件知14k－4k1，解得k163；当0k4时，c＝4－k，由条件知144－k41，解得0k3，综上知选C.6．(2012·温州五校)已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53答案D解析由PF1→·PF2→＝0，得△PF2F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝12，设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2(c＝a2－b2)，即4c2＝5s2，c＝52s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝3s2.∴离心率e＝ca＝53，故选D.7．已知椭圆x24＋y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当PF2→·PA1→的最小值时|PA1→＋PF2→|取值为()A．0B．3C．4D．5答案B解析由已知得a＝2，b＝3，c＝1，所以F2(1,0)，A1(－2,0)，设P(x，y)，则PF2→·PA1→＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2＝3－34x2，代入上式，得PF2→·PA1→＝14x2＋x＋1＝14(x＋2)2，又x∈[－2,2]，∴x＝－2时，PF2→·PA1→取得最小值．所以P(－2,0)，求得|PF2→＋PA1→|＝3.8．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为______________．答案8解析直线y＝k(x＋3)过定点N(－3，0)，而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.9．已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是________．答案x232＋y216＝1解析由题意，得a－c＝42－1，b＝c，a2＝b2＋c2，解得a＝42，b＝4，所以椭圆方程为x232＋y216＝1.10．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225＋y29＝1上一动点，求|MA|＋|MB|的最大值为________．答案10＋210解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为2a＋|A1B|＝2×5＋62＋22＝10＋210.11．(2012·烟台调研)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．答案2－3解析如图，不妨设|F1F2|＝1，∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝60°.∴|MF2|＝2，|MF1|＝3，2a＝|MF1|＋|MF2|＝2＋3，2c＝|F1F2|＝1.∴e＝ca＝2－3.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.若直线l的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e的大小为______．答案12解析如图所示，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知△OCD为直角三角形，且OC＝b，OD＝a，∠ODC＝π3，∴CD＝OD2－OC2＝a2－b2＝c(c为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e＝ca＝cosπ3＝12.13．如下图所示：已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM→＝2AP→，NP→·AM→＝0，点N的轨迹为曲线E，求曲线E的方程．答案x22＋y2＝1解析∵AM→＝2AP→，NP→·AM→＝0，∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|，又|CN|＋|NM|＝22，∴|CN|＋|NA|＝222.∴动点N的轨迹为以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝22，2c＝2，∴a＝2，c＝1.∴曲线E的方程为x22＋y2＝1.14．(2012·沧州七校联考)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．答案(1)x216＋y212＝1(2)1≤m≤4解析(1)由题意知c＝ab＝23a2＝b2＋4，解之得a2＝b2＝12，∴椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)设P(x0，y0)，且x2016＋y2012＝1，∴|MP→|2＝(x0－m)2＋y20＝x20－2mx0＋m2＋12(1－x2016)＝14x20－2mx0＋m2＋12＝14(x0－4m)2－3m2＋12∴|MP→|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m，由题意知，当x0＝4时，|MP→|2最小，∴4m≥4，∴m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m≤4.1．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点．则|ON|等于()A．2B．4C．8D.32答案B解析|ON|＝12|MF2|＝12(2a－|MF1|)＝12(10－2)＝4，故选B.2．方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3DF1→＝DA→＋2DF2→，则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15答案D解析设点D(0，b)，则DF1→＝(－c，－b)，DA→＝(－a，－b)，DF2→＝(c，－b)，由3DF1→＝DA→＋2DF2→得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝15.3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．答案x236＋y29＝1解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，根据椭圆定义，有2a＝12，即a＝6.又ca＝32，得c＝33，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x236＋y29＝1.4．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△PF2F1为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．答案2－1解析数形结合：令|F1F2|＝1，则|PF2|＝1，|PF1|＝2.∴e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝12＋1＝2－1.5．(2011·上海春季高考)若点O和点F分别为椭圆x22＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．答案2解析由题意可知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(2cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(2cosα＋1)2＋sin2α＝2cos2α＋22cosα＋3＝2(cosα＋22)2＋2，所以当cosα＝－22时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.6．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．答案[53，32]思路先求椭圆内接矩形的最大面积，然后根据这个范围建立关于a，b，c的不等式．解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，根据对称性，知该矩形的面积为S＝4xy＝4ab(xa)(yb)≤2ab[(xa)2＋(yb)2]＝2ab，即划出的矩形的最大面积是2ab.根据已知，得3b2≤2ab≤4b2，即3b2≤a≤2b，即12≤ba≤23，故e＝ca＝a2－b2a2＝1－ba2∈[53，32]．1．椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1→·PF2→的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.14，12B.12，22C.22，1D.12，1答案B解析P(x0，y0)．∴PF1→＝(－c－x0，－y0)，PF2→＝(c－x0，－y0)，∴PF1→·PF2→＝x20－c2＋y20＝x20－c2＋b2(1－x20a2)＝(1－b2a2)x20＋b2－c2＝c2a2x20＋b2－c2，∵x0∈[－a，a]，∴PF1→·PF2→的最大值为c2a2·a2＋b2－c2＝b2，∴c2≤b2≤3c2，∵e2＝c2a2＝c2b2＋c2，∴c23c2＋c2≤c2b2＋c2≤c2c2＋c2即12≤e≤22.2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()A．1B.2C．2D．22答案D解析三角形的面积S＝12·2c·b＝bc＝1，∴a2＝b2＋c2≥2bc＝2.∴a≥2.∴2a≥22.选D.3．设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值．解析易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为x∈[－2,2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.4．如下图，椭圆x24＋y23＝1内有一点P(1，－1)，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一动点M，求|MP|＋|MF|的最值．解析设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆定义及基本几何不等式得：|MP|＋|MF|＝|MP|＋4－|MF′|＝4＋|MP|－|MF′|≤4＋|PF′|＝4＋1＋12＋12＝4＋5，∴当M，P，F′共线且F