洛朗级数和正则奇点求解微分方程

170116洛朗级数和正则奇点求解微分方程1、洛朗级数1.1问题提出已知结果：当f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。1.2双边幂级数210201020102000()()()()()()()nnnnnnnazzazzazzaazzazzazzazz(1)其中，00()nnnazz被称为双边幂级数的正幂部分；01()nnnazz被称为双边幂级数的负幂部分。1.3收连环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。1.4洛朗定理定理：设fz在201RzzR内单值解析，则对环域上任一点z，fz可展开成为幂级数：0knkfzazz(2)其中1011,2,2kkCfadkiz，且展开式唯一。积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线。式（2）称之为fz的洛朗展开，右端的级数称为洛朗级数。说明:(1)虽然级数中含有z-z0的负幂项，而这些项在z=z0时都是奇异的，但点z0可能是，也可能不是函数f(z)的奇点。(2)虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式相同，但这里()0()/!kkafzk不论z0是不是f(z)奇点。如果是奇点，则()0()kfz根本不存在。(3)如果z0不是奇点，则()0()kfz存在，但ka仍然不等于()0()/!kfzk，因为()010!()()2()kkCkffzdiz成立的条件是以C为边界的区域上f(z)解析，但现在区域上有f(z)的奇点（不是z0），（如果没有奇点，就不用考虑洛朗级数的展开）。(4)如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限接近z0，这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗级数展开式。这种情况特别重要，可利用它研究函数在孤立奇点附近的性质。(5)洛朗级数展开式也是唯一的，这点和泰勒级数是一致的，此唯一性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式。1.5计算112i0z1;ii1z2;iii2zfzzz例试把展开成洛朗级数11i.12fzzz2111-znzzz2211121.2222212nnzzzzz222113711224248zzfzzzzz11ii,12fzzz211111111-z1zzzzz12122211121.2222212nnzzzzz211111248nnzzfzzzz11iii,12fzzz211111111-z1zzzzz2111241.221zzzzzz234137fzzzz应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如,sin,cos,ln1,1(1)mzezzzzm等的泰勒展开式和幂级数的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数。2、正则奇点邻域上的级数解法2.1奇点邻域上的级数解求解线性二阶常微分方程''()'()0wpxwqzw(3)如果选定的点0z是方程（3）的奇点，则一般来说，解也以0z为奇点，在0z邻域上的展开式不是泰勒级数，因此此处含有负幂项。关于奇点邻域上的级数解，有如下定理：若点0z为方程（3）的奇点，则在点0z的邻域00zzR上，方程存在两个线性独立解，其形式为110()()skkkwzazz和220()()skkkwzbzz12z12z2.2正则奇点邻域上的级数解如果在方程（3）的奇点0z的邻域00zzR上，方程的两个线性独立解都具有有限个负幂项，则奇点0z称为方程的正则奇点。这里只讨论这种相对容易的情况，也是常见的情况。如系数()pz以0z为不高于一阶的极点，且系数()qz以0z为不高于二阶的极点，既：0012(),()()kkkkkkpzpzzqzqzz(4)可以证明奇点0z就是正则奇点。这就是说，在0z的邻域Rzz||00上，方程(3)的两个线性独立解的级数表达式只有有限个负幂项：1100()()skkkwzazz(5)2200()()skkkwzbzz(6)或是：22100()()ln()()skkwzAwzzzbzz(7)其中1s和2s是所谓判定方程：12(1)0ssspq(8)的两个根，而2s为较小的那一个根，至于A、ka和kb均为常数系数。2.3贝塞尔方程2.3.1非整数且非半奇数阶在点00x的邻域上求解阶贝塞尔方程：222'''()0xyxyxy(9)阶整数或半奇数。方程即0)/1(')/1(''22yxyxy。点00x是1/pxx的一阶极点，又是22/1)(xxq的二阶极点。因此，点00x是贝塞尔方程的正则奇点。判定方程为：0)1(2sss，既022s。两个根为21,ss，两根之差0221ss或正整数.因此，线性独立的两个解取（5）和（6）的形式。先不分1s和2s，以实变数x的解：ksksssxaxaxaxaxy22110)(，（00a）代入（9）中，合并同幂项，由此得，2202212220222[]0[(1)]0[(2)]0[()]0kksasasaaskaa(10)根据约定00a，（10）中第一个方程即是判定方程：022s，两个根前面已经解出。将这两个根带入（10）中第二个方程，有0])1[(122a,得10a利用以后各式进行系数的递推，递推公式是：222[()]0kkskaa(11)即：222211()()()kkkaaasksksk(12)先取1s，递推公式成为2/(2)kkaakk。于是：200231422024202211112(22)1!(1)2103(23)111114(24)2(2)22!(1)(2)211(1)!(1)(2)()20kkkkaaaaaaaaaaakka(13)这样，得到阶贝塞尔方程的一个特解：2410211()[11!(1)22!(1)(2)21(1)!(1)(2)()2kkxxyxaxxkk(14)这个级数的收敛半径：22lim|/|lim2(2)kkkkRaakk这是说，只要x有限，级数解(13)就收敛。通常取01/2(1)a（关于实变数x的()x通常在微积分教本中都有），并把这个解叫做阶贝塞尔函数，记作()Jx：201()(1)!(1)2kkkxJxkk(15)再取2s，递推公式成为)2(/2kkbbkk。于是：200231422024202211112(22)1!(1)2103(32)111114(42)2(2)22!(1)(2)211(1)!(1)(2)()20kkkkbbbbbbbbbbbkkb(16)这样，得贝塞尔方程的另一个特解：2420211()[11!(1)22!(1)(2)21(1)]!(1)(2)()2vkkxxyxbxvxkk(17)这个级数的收敛半径：22lim|/|lim2(2)kkkkRbbkk。这就是说，只要x有限，这个级数就收敛。通常取01/2(1)vb，并把这个解叫作阶贝塞尔函数，记作()Jx：201()(1)!(1)2kkkxJxkk(18)阶贝塞尔方程的通解是：12()()()yxCJxCJx(19)2.3.2半奇数阶1/2l在点00x的邻域上求解1/2l阶贝塞尔方程222'''[(1/2)]00,1,2,xyxyxlyl，(20)点00x是贝塞尔方程的正则奇点。首先考虑0l时的1/2阶贝塞尔方程：222'''[(1/2)]0xyxyxy(21)上面我们已经解出判定方程两根为12,svsv，在这里，121/2,1/2ss。对应于大根11/2s的特解即贝塞尔方程（15），其中1/2v，这就是1/2阶贝塞尔函数：1/221/2011()(1)!(3/2)22sinkkkJxkkxx(22)判定方程两根之差121ss是整数，第二个特解的形式是（7），即：211/2()()lnkkkyxAyxxbx(23)把上式代入1/2阶贝塞尔方程，可得到第二个特解：1/22()cosJxxx(24)尽管判定方程两根之差为正整数1，但常数0A，第二个特解的表达式中并不出现对数函数。12阶贝塞尔方程的通解是：112122()()()yxCJxCJx(25)接着考虑一般的半奇数贝塞尔方程，判定方程两根为，121/2,(1/2)slsl。对应于大根11/2sl的特解即贝塞尔方程（15）：1/221/201()(1)!(3/2)2lkklkxJxklk(26)判定方程两根之差1221ssl是整数，第二个特解的形式是（7），即：21/2(1/2)()lnklkklyxAJxbx(27)把上式代入（20)，同样可证0A，所以第二个特解仍可以用(18)表示，不过应取(1/2)vl，即：1/22(1/2)01()(1)!(1/21)2lkklkxJxklk(28)1/2l阶贝塞尔方程的通解为：11/22(1/2)()()()llyxCJxCJx(29)2.3.3整数阶在点00x的邻域上求解m阶贝塞尔方程：222'''()0mxyxyxmy（为自然数）(30)方程即22''(1/)'(1/)0yxymxy.点00x是1/pxx的一阶极点，又是22()1/qxmx的二阶极点。因此，点00x是贝塞尔方程的正则奇点。判定方程为：2(1)0sssm，即220sm两个根为12,smsm，两根之差122ssm是0或正整数.因此，线性独立的两个解取（5）和（7）的形式。首先，对应大根1sm的特解依然为贝塞尔函数(15)，即m阶贝塞尔函数