高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

1γmβαllαβ立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1.线面平行αl符号表示：2.线面相交αAl符号表示：3.线在面内αl符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll////方法二：用面面平行实现。mlml////方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。////llmml方法二：用面面平行实现。////ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。//,////且相交mlml三．垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,mlαnαlm'l'lαβmmβαlABCαllm2方法二：用面面垂直实现。llmlm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：]90,0((2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。AOθPα(2)范围：]90,0[当0时，l或//l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。APn,cossinAPnAPnlβαmlβαmαlθcbaABCθnAOθPαlAOPα3(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。nmlP(2)范围：]180,0[(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。θAOPαβ方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。θn1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。OAP步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。APnAPdcosnAPn2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbam'DCBAmn如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：cos2222abbacdθαPOAn4五．空间向量(一)空间向量基本定理若向量cba,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、、，使得czbyaxp。(二)三点共线，四点共面问题1.A，B，C三点共线OAxOByOC，且1xy当21yx时，A是线段BC的A，B，C三点共线ACAB2.A，B，C，D四点共面OAxOByOCzOD，且1xyz当13xyz时，A是△BCD的A，B，C，D四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz则：AB;BAd,AB2.若空间中的向量111(,,)axyz，),,(222zyxb则abababcosab六．常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则222coscoscos++βγααβγ若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则222coscoscos++3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：棱柱V棱锥V(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式：体积公式：