高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析

在基础和跨越间架设金桥在起步和成功间开辟通道第1页共4页高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.785．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定二、填空题6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝________.7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．三、解答题9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.在基础和跨越间架设金桥在起步和成功间开辟通道第2页共4页10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.（1）求角C的大小；（2）又若sinAsinB＝34，判断△ABC的形状．11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，且S＝34(a2＋b2－c2)．（1）求角C的大小；（2）求sinA＋sinB的最大值．在基础和跨越间架设金桥在起步和成功间开辟通道第3页共4页答案及解析1．【解析】由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，由a2＋c2－b2＝3ac，∴cosB＝32，又0＜B＜π，∴B＝π6.【答案】A2．【解析】S△ABC＝12×3×4sinC＝33，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.【答案】B3．【解析】由sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.∴c2＞a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形．【答案】C4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为22＋22－122×2×2＝78.【答案】D5．【解析】∵∠C＝120°，c＝2a，∴由余弦定理，得(2a)2＝a2＋b2－2abcos120°，故ab＝a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b.【答案】A6．【解析】∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝3，∴c＝3，∴a＝c，则A＝C＝30°.【答案】30°7．【解析】∵sinB＋cosB＝2sin(B＋π4)＝2，∴sin(B＋π4)＝1，∴B＝π4.又asinA＝bsinB，得sinA＝12，A＝π6.【答案】π68．【解析】∵A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝π3，又BD＝12BC＝2，∴在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝3.【答案】39．【解析】法一∵sinB＝4cosAsinC，由正弦定理，得b2R＝4cosAc2R，∴b＝4ccosA，由余弦定理得b＝4c·b2＋c2－a22bc，∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.法二由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA，∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2，①由正弦定理，得bc＝sinBsinC，又由已知得，sinBsinC＝4cosA，∴b＝4ccosA．②解①②得b＝4.10．【解析】(1)由题设得a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又C∈(0，π)，∴C＝π3.(2)由(1)知A＋B＝23π，∴cos(A＋B)＝－12，即cosAcosB－sinAsinB＝－12.又sinAsinB＝34，∴cosAcosB＝34－12＝14，从而cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝1，由A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，即A＝B，从而△ABC为等边三角形．11．【解析】(1)由题意可知12absinC＝34·2abcosC，所以tanC＝3.因0＜C＜π，故C＝π3.(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)＝sinA＋sin(2π3－A)＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sin(A＋π6)，∵C＝π3，∴0＜A＜2π3，∴π6＜A＋π6＜5π6，∴当A＋π6＝π2，即A＝π3时，3sin(A＋π6)取最大值3.∴sinA＋sinB的最大值为3.在基础和跨越间架设金桥在起步和成功间开辟通道第4页共4页