齐次线性方程组的基础解系存在定理及其应用

齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)n；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是基础解系。定理1:设A是nm的矩阵，B是sn的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证：设sBBBB,,,21的列向量为，则),,,(21sBBBB，AB=0，即0),,,(21sBBBA所以sjABj,,2,1,0所以，sBBB,,,21都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩)(),,,(21ArnBBBs所以r(A)+r(B)n评论：AB=0，对B依列分块，时处理此类问题的惯用方法。例1：要使,110,20121都是线性方程组0AX的解，只要系数矩阵A为(A)[-211](B)110102(C)110201(D)110224110解：由答案之未知量的个数是3。,110,20121都是线性方程组0AX的解，并且21,线性无关，所以1)(2)(3ArAr，从而，.只有（A）是正确的。例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为.解：记111，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,所以0A，0且A的秩为n-1，所以就是七次线性方程组AX=0的基础解系，所以，线性方程组AX=0的通解为111k例3：已知Q=96342321t,P为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则(A)t=6时P的秩必为1(B)t=6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1(D)t6时P的秩必为2解：记96342321),,(321tQQQQ，因为所以,0PQ321,,QQQ都是齐次线性方程组，0PX的解，当6t时，31,QQ线性无关，所以1)(,2)(3PrPr即P为非零方阵，所以1)(Pr因而：t6时P的秩必为1，选（C）另解：因为所以,0PQ3)()(QrPr，当6t时，1)(,2)(PrQrP为非零方阵，所以1)(Pr因而：t6时P的秩必为1，选（C）例4：设A是n（2）阶方阵，*A是的伴随矩阵，那么：nArnnArnArAr)(1)(11)(0)(*当当当证明：1)(nAr当时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵，0)(*Ar；nAr)(当时，A时可逆矩阵，0A，而EAAA*，0*,*AAAAnnAr)(*1)(nAr当时，A存在不为0的n-1阶子式，所以1)(*Ar此时，0A，0*AA，所以,)()(*nArAr1)(*Ar从而1)(*Ar