复变函数疑难问题分析

1复变函数疑难问题分析1.设zzzf1sin)(2，11|zzD。1）函数)(zf在区域D中是否有无限个零点？2）若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答：有无限个零点。可以具体写出其所以零点；不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0z为非孤立的奇点。2.“函数sinz在z平面上是有界的”是否正确？sinz在z平面上无界。这是因为sin2izizeezi，令(0)ziyy，则|sin|||()2izizeezyi3.“函数ze为周期函数”是否正确？ze是以2ki为周期的函数。因为zC，221zkizkizzeeeee，k为整数4.“()fzz是解析函数”是否正确？()fzz在z平面上不解析。因为()fzzxiy，所以(,)uxyx，(,)vxyy所以1ux，1vy，0uy，0vx但是11uvxy，所以(,)uxy，(,)vxy在z平面上处处不满足..CR条件所以()fzz在z平面上不解析。5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。（1）复球面上与点22(,,1)22对应的复数；（2）复数1+i与复球面上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平面。2解：（1）建立空间直角坐标系（以O点为原点，SON为z轴正半轴），则过点22(,,1)22P与点(0,0,2)N的直线方程为222221xyz。当0z时，2xy，所以22(,,1)22与复数22i对应。（2）复数1i的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112xyz与球面222(1)1xyz相交，其交点为222(,,)333，(0,0,2)N（3）z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。6．说明复变函数可微性与解析性的关系。复变函数()wfz在点0z处可导，又称为可微，而()fz在0z处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()fz在0z处是解析的。所以（1）()wfz在点0z处可导(可微)，但不一定在0z处是解析的，（2）()fz在0z处解析是指在0z处的某个邻域内任一点处均可导，（3）()fz在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。7．1sinfzz在区域D：01z上解析且有无穷多个零点，但在区域D上fz不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？1()sinfzz在区域D，01z内有无穷多个零点1kzk，但lim0kkz，但0D，而区域D是去心邻域，()fz在0z点无意义，所以()fz在0z处是不解析的，也即1()sinfzz在D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。8.复级数1nna与1nnb都发散,则级数1()nnnab和1nnnab发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:2211111111i,innnnnnabnnnn发散3但2112()innnnabn收敛；112()nnnnabn发散；241111[()]nnnnabnn收敛.9.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:(1)不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.10.为什么区域Rz||内解析且在区间),(RR取实数值的函数)(zf展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？因为当z取实数值时，)(zf与)(xf的泰勒级数展开式是完全一致的，而在Rx||内，)(xf的展开式的系数都是实数。所以，在区域Rz||内，)(zf展开成z的幂级数时，它的系数都是实数。11.由23...1zzzzz2111...1zzzz因为011zzzz,所以有结果2332111...11...0zzzzzz请解释错误的原因。答:因为23...1zzzzz要求z1而2111...1zzzz要求z1所以,在不同区域内2362111...11...011zzzzzzzzzz12.0z是函数)/1cos(1)(zzf的孤立奇点吗？为什么？解:因为11()cos()zfz的奇点有0z41π1π(0,1,2,...)π2π2kzkzk所以在0z的任意去心邻域，总包括奇点1ππ2zk，当k时，z=0。从而0z不是11cos()z的孤立奇点.13.函数21()(1)fzzz在1z处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：25431111,11(1)(1)(1)(1)zzzzzz.我们得到“1z又是()fz的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?解:不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在011z内得到的在011z内的罗朗展开式为22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1zzzzzzzzz14.如何证明当y时，|)sin(|iyx和|)cos(|iyx都趋于无穷大？证明：iiii11sineeee2i2izzyxyxz∴iiii1sine2eeeeyxyxyxyyxyze而ii11sineeee22yxyxyyz≥当y时，0ye，ye有|)sin(|iyx．当y时，ye，0ye有|)sin(|iyx．同理得ii11cosieeee22yxyxyyxy≥所以当y时有|)cos(|iyx．15.设函数)(zf在1||0z内解析，且沿任何圆周C：rz||，10r的积分5为零，问)(zf是否需在0z处解析？试举例说明之。解：不一定。如令21)(zzf，则其在1||0z内解析，且沿任何圆周C：rz||，10r的积分01)(||2rzCdzzdzzf但显然21)(zzf在0z处不解析。16.设)(zf在单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分Cdzzfzf)()(是否为零？为什么？解：等于零。因)(zf在D内解析，故)(zf具有各阶导数且仍为解析函数，从而)(zf在D内也解析，又因在D内0)(zf，故)()(zfzf在D内解析，从而在C上及C的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，有0)()(Cdzzfzf17.设333322,0(),00xyixyzfzxyz()fz在原点是否满足CR条件，是否可微？解：3322,0,0,,0,00xyxyuxyxyxy3322,0,0,,0,00xyxyvxyxyxy1lim)0,0()0,(lim)0,0(00xxxuxuuxxx，同理0)0,0()0,0()0,0(yxyvvu。从而在原点)(zf满足CR条件。又zviuviuzzffxx)0,0()0,0(()()(6=zyxziyxi3333)()()1()()()1(当z沿0xy时3)(2)1()(xizzff故)(zf在原点不可微18.在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子．例如：()fzz在z平面上处处不可微．证明：不难看出()fzz在z平面上处处连续，但对于任意一点0z．000000()()fzzfzzzzzzzzzzzz当z取实数趋于零时，上述极限为1，而当z取纯虚数趋于零时，上述极限为1，因此上述极限不存在，即()fz在点0z不可导，由0z的任意性知)(zf在点z平面上处处不可微．19.“若),(yxu和),(yxv均为调和函数，则),(),()(yxivyxuzf为解析函数”是否正确？解：不正确。例如：22),(yxyxu，22),(yxyyxv都是调和函数，但),(),()(yxivyxuzf不是解析函数。事实上，2,2,2,2yyxxyxuuyuxu，22222222)(,)(2yxyxvyxxyvyx3223232232)(26,)(26yxyyxvyxyyxvyyxx0;0yyxxyyxxvvuu7这表示),(),,(yxvyxu是调和函数。但yxvu，即不满足C—R条件，从而),(),()(yxivyxuzf不是解析函数。20.指出下列推导过程中的错误：设0z，则（1）因为22)(zz；（2）所以22)(LnzzLn；（3）于是有LnzLnzzLnzLn)()(；（4）所以LnzzLn2)(2；（5）故得LnzzLn)(。解：推理步骤1）--3）是正确的，但3）至4）是错误的。LnzLnz可视为由两个相同数集Lnz各取一个元素相加所得的和的数集。而Lnz2只是数集Lnz中每一数的两倍所成的数集。Lnz2仅是LnzLnz的一个真子集。事实上，)2(arg||lnkzizLnz，,...1,0),)12((arg||ln)(kkzizzLn所以)(zLnLnz21.在复变函数中，ze也可以象实分析中的xe既可看成以e为底的指数函数，也可以看成数e的x次幂哪样理解吗？不能，在复变函数中，ze表示复变指数函数的一个符号，即)sin(cosyiyeexz，一般用符号zexp表示，习惯上还是用ze表示，但是，这里的ze没有幂的含意。ze作为指数函数与e的z次幂有很大的差别。作为指数函数)sin(cosyiyeexz是一单值解析函数。作为e的z次幂，按照乘幂定义)]2(lnexp[)(xpikezzLneeez8=,...2,1,0),2exp(exp)]21(exp[kzikzikz一般情况下，它是多值的。22.实分析中的微分中值定理具有重要的理论意义和应用价值，它能推广到复变函数中来吗？答不能.我们以罗尔（Rolle）定理为例来说明不能推广到复变函数中的原因.罗尔定理告诉我们，若函数()yfx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab可导，并且()()fafb，则至少存在一点(,)ab，使得()0f.由于复变函数()wfz是定义在z平面中集合上的函数，它的连续性与可导性都要求函数定义在一点的某个邻域上或某个区域上，仅在实轴（或虚轴）的某个区间上不能讨论它的连续性与可导性.况且由于复数不能比较大小，所以在复平面上（除实轴或虚轴外）不能定义通常的区间，即使将罗尔定理中的前面两个条件放宽为()fz在z平面某个区域D内解析，将条件“()()fafb”改为在D内的某线段的两个端点1z与2z上相等，即12()()fzfz，结论也不一定成立.例如，设()zfze，根据指数函数ze的周期性，对任何z，zzkiee（k为整数），但是()0zzee，罗尔定理不成立.23.对于复变对数函数，当正整数1n时，等式nnLnzLnz，1nLnzLnzn不成立，为什么？答由于复变对数函数是无穷多值函数，所以上面两个等式成立应当理解为等式两端可能取得的函数值