高二定积分试题

高二定积分试题一：选择题1．（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．2．（2000•天津）如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．3．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．故选C．4．（2013•永州一模）cos2xdx=（）A．B．1C．2D．解：cos2xdx=sin2x=（sin﹣sin0）=．故选A．5．（2013•汕头二模）如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）A．B．C．D．解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．故选C．6．（2013•济南一模）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜解：∵，∴=ln2，=ln3，c==ln5．∵，，，∴，∴，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴．∴．故选C．7．（2013•长春一模）设，，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a解：∵==，=1﹣=，==，又，∴c＜b＜a．故选A．8．（2010•湖南模拟）如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C9．用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．解：由题设知：，∴，故选A10．抛物线y=x2在A（1，1）处的切线与y轴及该抛物线所围成的图形面积为（）A．B．C．1D．2解：先求导函数，可得y′=2x，∴抛物线y=x2在A（1，1）处的切线的斜率为2∴切线为y=2x﹣1，由定积分的几何意义得，所求图形的面积为故选A．11．曲线y=4x和y=3x2﹣2x所围成图形的面积（）A．2B．4C．6D．8解：先根据题意画出图形，由⇒或得到积分上限为2，积分下限为0曲线y=4x和y=3x2﹣2x所围成图形的面积S=∫02（4x﹣3x2+2x）dx=∫02（6x﹣3x2）dx=（3x2﹣x3）|02=3×4﹣8=4∴曲边梯形的面积是4故选B．12．（2012•郑州二模）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S===．故答案选D．13．（2012•江西模拟）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，则x0的值为（）A．B．f（x0）aC．D．mm解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫01f（x）dx=[+cx]01=+c．又∵f（x0）=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．故选D．14．（2011•莆田模拟）若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a解：根据定积分的几何意义，则a，b，c分别表示表示三条曲线与x轴围成的图形的面积，由图可得：a＜b＜c故选A．二．填空题15．（2012•长春一模）设（e为自然对数的底数），则的值解：∵，∴=∫01f（x）dx+∫1ef（x）dx=（x3）|01+（lnx）|1e=+1=，故答案为．16．（2012•安徽模拟）计算=2．解：因为x3|x|+1=（x3|x|）+1，其中函数x3|x|是奇函数，而积分上限和下限互为相反数，根据定积分的几何意义可知∫﹣11（x3|x|）dx表示函数x3|x|在x=﹣1，x=1与x轴围成图形的面积的代数和为0，∴=∫﹣11（x3|x|）dx+∫﹣11dx=0+x=0+2=2．故答案为：2．17．若函数f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是2．解：由题意可得，f（1）=lg1=0，∴f（f（1））=f（0）=3t2dt=t3=t3{|}_{0}^{a}=a3，∴a3=8即a=2．故答案为：2．18．（2011•遂溪县一模）=π．解：令y，x2+y2=4，如图由定积分的定义知的值等于此圆面第二象限部分的面积故所求的定积分的值为π故答案为π19．（2011•安徽模拟）设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是[0，+∞）．解：由题意b=2cos2xdx=sin2x=sin=∴g（x）=2lnx﹣x2﹣kx∴g′（x）=∵g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，∴g′（x）=＜0在[1，+∞）上恒成立即在[1，+∞）上恒成立∵在[1，+∞）上递减，∴∴k≥0由此知实数k的取值范围是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）．20．（2012•济南三模）已知函数f（x）=3x2+2x+1，若（a＞0）成立，则a=．解：由∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），得f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．∵a＞0．∴a=故答案为：．21．（2013•汕头一模）若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2．则正实数a=．解：由积分的几何意义可得，==∴a=故答案为：22．（2010•武清区一模）已知，则f（a）的最大值为．解：=（﹣）|01=﹣a2∴当a=时，f（a）取最大值，最大值为故答案为：23．（2009•济宁一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．24．计算：=π．解：∵y=表示x轴上方的半圆，∴dx=∴=2dx﹣sinxdx=2×﹣（﹣cosx）=π﹣0=π．故答案为：π25．由曲线y=x2+2与直线y=3x，x=0，x=2所围成平面图形的面积为1．解：联立曲线与直线得，解得或设曲线y=x2+2与直线y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积为A则A=∫01[（x2+2）﹣3x]dx+∫12[3x﹣（x2+2）]dx=1故答案为1．26．=2﹣．解：先计算，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方的半圆的面积∴==﹣=x﹣=2﹣故答案为：2﹣27．=．解：cos2x=∵∴==，故答案为三．解答题28．已知函数；（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围；（2）若函数在区间[0，5]上没有零点，求实数a的取值范围．解：（1）∵==∴f′（x）=x2﹣4x不等式f（x）+2x+2＜m可化为m＞x2﹣2x+2∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，∴m＞（x2﹣2x+2）min（x∈[0，2]）∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴当x∈[0，2]时，（x2﹣2x+2）min=1∴m＞1，∴实数m的取值范围为（1，+∞）（2）由（1）得，∴g′（x）=x2﹣4x=x（x﹣4）则当x∈[0，4]时，g′（x）≤0；当x∈（4，5]时，g′（x）＞0∴当x=4时，g（x）的最小值为g（4）=a﹣11∵函数g（x）在区间[0，5]上没有零点，∴a﹣11＞0或∴a＞11，或a∴实数a的取值范围为（11，+∞）∪（﹣∞，）．29．已知S1为直线x=0，y=4﹣t2及y=4﹣x2所围成的面积，S2为直线x=2，y=4﹣t2及y=4﹣x2所围成图形的面积（t为常数）．（1）若t=时，求S2；（2）若t∈（0，2），求S1+S2的最大值．解：（1）当t=时，S2==（x3﹣2x）=．…（4分）（2）t∈（0，2），S1===，…（6分）S2===，…（10分）∴S=S1+S2=，S′=4t2﹣4t=4t（t﹣1），令S′=0得t=0（舍去）或t=1，当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，当t＞1时，S′＞0，S单调递增，∴当t=1时，Smin=2．…（14分）30．如图，过点A(6，4)作曲线()48fxx的切线l．（1）求切线l的方程；（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．解：（1）∵2()48fxx，∴1(6)2f，∴切线l的方程为：14(6)2yx，即112yx．（2）令()48fxx=0，则x=2．令112yx=0，则x=-2。∴A=66221(1)482xdxxdx=3226611()(48)2246xxx=163．Alxy48yxOS