高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习1-3-1推出与充分条件必要条件

1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]考查任意角的三角函数值．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”⇒“cos2α＝12”，“cos2α＝12”“α＝π6＋2kπ”(k∈Z)因为α还可以等于2kπ－π6(k∈Z)，∴选A.2．(2009·湖南)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]考查平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2[答案]B[解析]本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本小题主要考查不等式的性质及充要条件．当a0且b0时，a＋b0且ab0；当ab0时，a，b同号，又a＋b0，∴a0，且b0.故选C.5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0x5，x∈R}，则()A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件[答案]A[解析]P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0x5，x∈R}，x∈P⇒x∈Q.但x∈Qx∈p，∴x∈P是x∈Q的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本题主要考查充分必要条件问题．当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[答案]A[解析]一元二次方程式x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，∴m≤14，故“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的()A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]①∵a0，ax2＋1＝0⇒x2＝－1a0.∴ax2＋1＝0有一个负根．∴充分性成立．②若ax2＋1＝0有一个负根，那么x2＝－1a0，可是a0.∴必要性成立．故选B.9．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]充分性：当a＝1时，直线x＋y＝0和直线x－y＝0垂直；必要性：若直线x＋y＝0和x－ay＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m⊂α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，∵m⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是l⊥β的必要不充分条件．故选B.二、填空题11．条件甲：“a1”是条件乙：“aa”的__________条件．[答案]充要[解析]a1⇒aa成立反之：aa时即a2－a0解得a1.12．“lgxlgy”是“xy”的______________条件．[答案]充分不必要[解析]由lgxlgy⇒xy0⇒xy充分条件成立．又由xy成立，当y＝0时，lgxlgy不成立，必要条件不成立．13．不等式ax2＋ax＋a＋30对一切实数x恒成立的充要条件是________．[答案]a≥0[解析]①当a＝0时，原不等式为30，恒成立；②当a≠0时，用数形结合的方法则有a0Δ＝a2－4a(a＋3)0⇒a0.∴由①②得a≥0.14．函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________．[答案]b≥0[解析]对称轴为x＝－b2，要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，只需满足－b2≤0，即b≥0.三、解答题15．是否存在实数p，使“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[解析]x2－x－20的解是x2或x－1，由4x＋p0得x－p4.要想使x－p4时x2或x－1成立，必须有－p4≤－1，即p≥4，所以当p≥4时，－p4≤－1⇒x－1⇒x2－x－20.所以p≥4时，“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件．16．已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．[解析]解不等式x2－8x－200，得p：A＝{x|x10或x－2}．解不等式x2－2x＋1－a20得q：B＝{x|x1＋a或x1－a，a0}依题意：p⇒q，但是q不能推出p，说明AB.于是有a01＋a≤101－a≥－2(说明“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)解得0a≤3.∴正实数a的取值范围是0a≤3.17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.[解析]充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，可以发现x1＝x3，∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则β2＋2aβ＋b2＝0①β2＋2cβ－b2＝0②，由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.18．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析]由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax2＋2x＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－12，符合要求；(2)当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a≥0从而a≤1；又设方程ax2＋2x＋1＝0的根为x1·x2，则x1＋x2＝－2a，x1·x2＝1a.①因而方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是a≤11a0⇒a0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是a≤1－2a01a0⇒0a≤1，综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.