高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-1-1空间向量的线性运算

3.1.1空间向量的线性运算一、选择题1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则D1B→等于()A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b－cD．－a＋b＋c[答案]C[解析]D1B→＝D1A1→＋A1A→＋AB→＝－b＋(－c)＋a＝a－b－c.故选C2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′→、AD′→、BD→是()A．有相同起点的向量B．是等长的向量C．是共面向量D．是不共面向量[答案]C[解析]∵AB1→－AD1→＝D1B1→＝BD→，∴共面．故选C.3．如图所示在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1→的共有()(1)(AB→＋BC→)＋CC1→(2)(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→(3)(AB→＋BB1→)＋B1C1→(4)(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]D[解析]代入检验知选D.4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有以下等式，其中不正确的是()A.D1B→＝D1D→＋D1A1→＋D1C1→B.D1B→＝D1C1→＋B1B→＋CB→C.D1B→＝D1A1→＋A1B→＋A1A→D.D1B→＝D1C1→＋C1D→＋DB→[答案]C[解析]D1A1→＋A1B→＋A1A→＝D1B→＋A1A→≠D1B→.故选C.5．如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG→－AB→＋AD→等于()A.32DB→B．3MG→C．3GM→D．2MG→[答案]B[解析]MG→－AB→＋AD→＝MG→＋BD→＝MG→＋2MG→＝3MG→.6．平行六面体ABCD－A1B1C1D中，O为BD1与AC1的交点，下列说法正确的是()A.AO→＝12(AB→＋AD→＋AA1→)B.AO→＝13AC1→C.BO→＝12(BA→＋BC→＋BD→1)D.BO→＝14(AC1→＋BD1→)[答案]A[解析]AB→＋AD→＋AA1→＝AC→＋AA1→＝AC1→.故选A.7．如图所示，空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c,点M在OA上，且OM→＝2MA→，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c[答案]B[解析]MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12×(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c.∴应选B.8．已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝()A．4PG→B．3PG→C．2PG→D.PG→[答案]A[解析]PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝PG→＋GA→＋PG→＋GB→＋PG→＋GC→＋PG→＋GD→＝4PG→＋(GA→＋GC→)＋(GB→＋GD→)，∵ABCD是正方形，G是它的中心，∴GA→＋GC→＝GB→＋GD→＝0，故原式＝4PG→.9．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，则四边形ABCD是()A．空间四边形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形[答案]B[解析]画图利用空间向量的运算法则首尾相接AO→＋OB→＝AB→，DO→＋OC→＝DC→，∴AB→＝DC→.故选B.10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝12EF，则AF→等于()A.AA′→＋12AB→＋12AD→B.12AA′→＋12AB→＋12AD→C.12AA′→＋16AB→＋16AD→D.13AA′→＋16AB→＋16AD→[答案]D[解析]AF→＝13AE→＝13(AA′→＋A′E→)＝13AA′→＋13×12A′C′→＝13AA′→＋16(A′B′→＋A′D′→)＝13AA′→＋16A′B′→＋16A′D′→.故选D.二、填空题11．设A，B，C，D为空间任意四点，则AC→－BC→＋BD→＝________.[答案]AD→[解析]AC→－BC→＋BD→＝AC→＋CB→＋BD→＝AD→。12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式AB→－CD→＋BC→－DA→的化简结果为________．[答案]2AC→[解析]AB→－CD→＋BC→－DA→＝(AB→＋BC→)－(CD→＋DA→)＝AC→－CA→＝2AC→.13．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF→＝________.[答案]3a－52b＋3c[解析]连接BE，∵BE→＝12(BA→＋BC→)＝12(－AB→＋BC→)，BF→＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝12(CD→＋BC→)，又∵EF→＝BF→－BE→，∴EF→＝12(CD→＋BC→)－12(－AB→＋BC→)＝12(CD→＋AB→)＝12(5a－5b＋8c＋a－2c)＝12(6a－5b＋6c)，∴EF→＝3a－52b＋3c.14．四棱锥P—OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，点E为PC的中点且BE→＝xa＋yb＋zc，由x，y，z的值分别为________________．[答案]－1，－12，12[解析]BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c.故x＝－1，y＝－12，z＝12.三、解答题15．在四面体ABCD中，E、F分别为棱AC、BD的中点，求证：AB→＋CB→＋AD→＋CD→＝4EF→.[证明]左＝(AB→＋AD→)＋(CB→＋CD→)＝2AF→＋2CF→＝2(AF→＋CF→)＝4EF→＝右．得证．16．A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝4试求MN的长．[解析]连AM并延长与BC相交于E，又连AN并延长与CD相交于F，则E、F分别是BC和CD之中点，由MN→＝AN→－AM→＝23AF→－23AE→＝23(AF→－AE→)＝23EF→＝23(CF→－CE→)＝23(12CD→－12CB→)＝13(CD→－CB→)＝13BD→∴|MN→|＝13|BD→|＝43.17．如图所示，在四面体O—ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，试用a，b，c表示向量OE→.[解析]∵E为AD的中点，根据向量的平行四边形法则．得OE→＝12(OA→＋OD→)，同理，可得OD→＝12(OB→＋OC→)，OE→＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.18．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝，N为PD中点，求满足MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→的实数x、y、z的值．[解析]在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连结MF，则MN→＝MF→＋FN→而FN→＝DN→－DF→＝12DP→－13DP→＝16DP→＝16(AP→－AD→)，MF→＝23CD→＝23BA→＝－23AB→.∴MN→＝－23AB→－16AD→＋16AP→，∴x＝－23y＝－16z＝16.