高二数学,几何概型(学生版)

———————————————————————————————————————————————————1几何概型一、兴趣导入（Topic-in）:有一天我同学问我“你知道什么动物最爱问为什么吗？”我老早就知道了，但是我还是配合了，我说:“不知道，是什么？”同学:“是猪啊。”我：“哦。”……沉默了一会后……同学：“你不想知道为什么吗？”我：“不想。”同学：“为什么？”……自作孽不可活二、学前测试(Testing):1．(人教A版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()．A.12B.13C.14D．12．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()．A.15B.25C.35D.453．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()．4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为()．———————————————————————————————————————————————————2A.π3B.334πC.34D．以上全错5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．三、知识讲解(Teaching)：1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．四、强化练习(Training)———————————————————————————————————————————————————3考向一与长度有关的几何概型【例1】►点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．【训练1】一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．考向二与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【训练2】(2011·福建)如图，———————————————————————————————————————————————————4矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()．A.14B.13C.12D.23考向三与角度、体积有关的几何概型【例3】►在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．【训练3】(2011·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题———————————————————————————————————————————————————5【问题研究】所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性为背景，设置概型，提出问题，考查考生综合分析问题、解决问题的能力.【解决方案】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.【示例】►(本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0，x＞0，y＞0内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【试一试】已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.———————————————————————————————————————————————————6(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．五、训练辅导(Tutor):1．(2012·北京模拟)在区间－π2，π2上随机取一个x，sinx的值介于－12与12之间的概率为()A.13B.2πC.12D.232．(2012·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.16B.13C.23D.453．(2013·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.12B.23C.34D.144．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．∀x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是()A.13B.12C.23D.345．(2012·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为()A.15B.25C.35D.126．(2012·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点———————————————————————————————————————————————————7的距离小于2的概率为()A.π12B.π10C.π6D.π247．(2012·郑州模拟)若不等式组y≤x，y≥－x，2x－y－3≤0表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．8．(2012·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．9.(2012·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．10．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．———————————————————————————————————————————————————811．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于22的概率．12．(2012·长沙模拟)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．六、反思总结(Thinking)：———————————————————————————————————————————————————9堂堂清落地训练（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）1、(2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．2、(1)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为_____．（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率___．3、(1)(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π———————————————————————————————————————————————————10(2)已知不等式组x－y≥0，x＋y≥0，x≤aa＞0表示平面区域M，若点P(x，y)在所给的平面区域M内，则点P落在M的内切圆内的概率为()A.2－14πB．(3－22)πC．(22－2)πD.2－12π4、(1)(2012·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()A.18B.116C.127D.38