高二数学2013北师大版高中数学选修4-4模块检测题及答案解析

由莲山课件提供资源全部免费模块学习评价一、选择题1．直线3x－4y＝0与圆x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心2．若一直线的参数方程为x＝x0＋12t，y＝y0－32t(t为参数)，则此直线的倾斜角为()A．60°B．120°C．300°D．150°5．设直线的参数方程为x＝－4＋22t，y＝22t(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成x＝－4＋t，y＝t(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为()A．±1B．0C．±12D．±328．参数方程x＝1＋sinθ，y＝cos2π4－θ2(θ为参数，(0≤θ＜2π)所表示的曲线是()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分，且过点(－1，12)由莲山课件提供资源全部免费D．抛物线的一部分，且过点(1，12)10．已知集合A＝{(x，y)|(x－1)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|yx·yx－2＝－1}，C＝{(ρ，θ)|ρ＝2cosθ，θ≠kπ4，k∈Z}，D＝{(x，y)|x＝1＋cosθy＝sinθ，θ≠kπ，k∈Z}，下列等式成立的是()A．A＝BB．B＝DC．A＝CD．B＝C二、填空题12．(2013·广东高考)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．14．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．15．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.17．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1、C2的极坐标方程，并求出圆C1、C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．【解】(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.由莲山课件提供资源全部免费解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t，－3≤t≤3.(或参数方程写成x＝1，y＝y，－3≤y≤3)法二将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ，－π3≤θ≤π3.18．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.xKb1.Com将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.由莲山课件提供资源全部免费(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.19．(本小题满分13分)(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．【解】(1)由点A2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，可得a＝2，所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝12＝22＜1，所以直线l与圆C相交．20．(本小题满分13分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x，y)中，x·y的最大值和最小值．【解】(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cosαcosπ4＋sinαsinπ4)＋6＝0，即ρ2－4ρcosα－4ρsinα＋6＝0.①因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosα，y＝ρsinα，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝由莲山课件提供资源全部免费0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程，设cosα＝2x－22，sinα＝2y－22，所以参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)．(2)由(1)可知xy＝(2＋2cosα)·(2＋2sinα)＝4＋22(cosα＋sinα)＋2cosα·sinα＝3＋22(cosα＋sinα)＋(cosα＋sinα)2.②设t＝cosα＋sinα，则t＝2sin(α＋π4)，t∈[－2，2]．所以xy＝3＋22t＋t2＝(t＋2)2＋1.＝－2时，xy有最小值为1；当t＝2时，xy有最大值为9.21．(本小题满分13分)过抛物线y2＝4x的焦点作一条倾斜角为α的弦AB，若要同时满足：(1)AB弦长不超过8；(2)AB弦所在直线与椭圆3x2＋2y2＝2相交．求倾斜角α的取值范围．【解】因为F(1,0)，所以直线AB：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)．①将①代入y2＝4x，得t2sin2α－4tcosα－4＝0.直线与抛物线有两个公共点应满足：sinα≠0Δ＞0⇔sinα≠0sin2α＋cos2α＞0⇔sinα≠0⇔α≠0.因为|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4cosαsin2α2＋16sin2α＝4sin2α，所以4sin2α≤8，即|sinα|≥22.将①代入3x2＋2y2＝2，由莲山课件提供资源全部免费得(2＋cos2α)t2＋6tcosα＋1＝0.由Δ≥0，即9cos2α－(2＋cos2α)≥0，所以cos2α≥14.由sinα≠0|sinα|≥22|cosα|≥120≤α≤π⇔π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4.由此可得倾斜角α的取值范围π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4.