高二数学导数及其应用综合检测

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案]A[解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为()A．v＝2sint＋2tcost＋1B．v＝2sint＋2tcostC．v＝2sintD．v＝2sint＋2cost＋1[答案]A[解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A．4B．5C．6由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费D．7[答案]D[解析]由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1()A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案]B[解析]y＝x|x(x－3)|＋1＝x3－3x2＋1(x0或x3)－x3＋3x2＋1(0≤x≤3)∴y′＝3x2－6x(x0或x3)－3x2＋6x(0≤x≤3)x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0＋0－0＋f(x)无极值极大值5极小值1∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案]A[解析]本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0时，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案]D[解析]令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，即F′(x)0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费A．①②B．③④C．①③D．①④[答案]B[解析]③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)241xdx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案]D[解析]因为(lnx)′＝1x，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费所以241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是()A．m2或m4B．－4m－2C．2m4D．以上皆不正确[答案]D[解析]f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D.11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c()A．有最大值152B．有最大值－152C．有最小值152D．有最小值－152[答案]B[解析]由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费立．所以f′(－1)≤0f′(2)≤0即2b－c－3≥04b＋c＋12≤0令b＋c＝z，b＝－c＋z，如图过A－6，－32得z最大，最大值为b＋c＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时有()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D．f(x)g(x)f(a)g(x)[答案]C[解析]令F(x)＝f(x)g(x)则F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)0f(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，f(x)g(x)f(b)g(b)∴f(x)g(b)f(b)g(x)．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费13.－2－1dx(11＋5x)3＝________.[答案]772[解析]取F(x)＝－110(5x＋11)2，从而F′(x)＝1(11＋5x)3则－2－1dx(11＋5x)3＝F(－1)－F(－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．[答案]a≥0[解析]f′(x)＝ax－1x′＝a＋1x2，由题意得，a＋1x2≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥－1x2，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案]－2[解析]本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k＝y′|x＝1＝n＋1，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，x＝nn＋1，∴an＝lgnn＋1，∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y＝1x，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．[答案]23＋ln2[解析]由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1)由x＝2y＝1x得交点B2，12.故所求面积S＝01xdx＋121xdx＝23x32|10＋lnx|21＝23＋ln2.由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a，(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.18．(本题满分12分)求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．[解析]由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝02(2x－x2)dx＋|02(2x2－4x)dx|＝02(2x－x2)dx－02(2x2－4x)dx.因为x2－13x3′＝2x－x2，由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费23x3－2x2′＝2x2－4x，所以S＝x2－13x320－23x3－2x220＝4.19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．[分析]考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析](1)f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f′(2)＝0，f(2)＝8.即3(4－a)＝0，8－6a＋b＝8.解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a0时，由f′(x)＝0得x＝±a.当x∈(－∞，－a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．此