高二数学椭圆及其标准方程教案苏教版

高二数学椭圆及其标准方程教案【学习目标】1．重点理解理解椭圆定义及其限制条件；理解椭圆标准方程的推导；理解椭圆标准方程中a、b、c的大小关系．2．重点掌握掌握椭圆定义；掌握求椭圆标准方程的方法；进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．能力培养培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．【学习障碍】1．理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键．(2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的Δ来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确．(3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题．应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义．(4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x轴还是在y轴，怎样判别，其理论依据是什么．(5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设．2．解题障碍(1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a、b)，a、b是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件．(2)点(x0，y0)在椭圆内220220byax＜1；点(x0，y0)在椭圆上220220byax＝1；点(x0，y0)在椭圆外220220byax＞1．(3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向．【学习策略】1．坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上．2．求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a、b、c，从而写出椭圆方程．3．定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义．4．研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长．事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y(或x)得x(或y)的一元二次方程，再利用其Δ或韦达定理进行．5．直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法．6．Ax2＋By2＝C(其中A、B、C为同号且不为零的常数，A≠B)，它包含焦点在x轴或y轴上两种情形．方程可变形为BCyACx2＝1．当AC＞BC时，椭圆的焦点在x轴上；当AC＜BC时，椭圆的焦点在y轴上．【例题分析】［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)；(3)焦点在坐标轴上，且经过点A(3，－2)和B(－23，1)策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可．若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式．解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2222byax＝1(a＞b＞0)∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4∴b2＝a2－c2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为9252xy＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为222bxay＝1(a＞b＞0)由椭圆的定义知，2a＝10210211023)225()23()225()23(222又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为61022xy＝1．(3)解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为222bxay＝1(a＞b＞0)由A(3，－2)和B(－23，1)两点在椭圆上可得：11)32(1)2()3(22222222baba解之得51522ba若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为222bxay＝1(a＞b＞0)，同上可解得15522ba，不合题意，舍去．故所求的椭圆方程为5522yx＝1．解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1，(m＞0，n＞0且m≠n)．由A(3，－2)和B(－23，1)两点在椭圆上可得11)32(1)2()3(2222nmnm即112143nmnm，解得51151nm故所求的椭圆方程为51522yx＝1．评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b．(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？［例2］已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．如图8—1—1所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图．解：如图8—1—1所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合．由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10，∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16．由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是162522yx＝1(y≠0)．评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用．另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明．［例3］一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．策略：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件．解：两定圆的圆心和半径分别为O1(－3，0)，r1＝1；O2(3，0)，r2＝9设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R∴|MO1|＋|MO2|＝10．由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为162522yx＝1．评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．［例4］已知P是椭圆162522yx＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．策略：如图8—1—2所示，已知∠P＝30°，要求△PF1F2的面积，如用21|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S△＝21|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积．解：由方程162522yx＝1，得a＝5，b＝4，∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6|PF1|＋|PF2|＝2a＝10∵∠F1PF2＝30°．在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°即62＝|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－3·|PF1|·|PF2|(2＋3)|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－36＝100－36＝64，∴|PF1|·|PF2|＝3264＝64(2－3)∴21PFFS＝21|PF1|·|PF2|·sin30°＝21·64(2－3)·21＝16(2－3)．评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．［例5］椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于P、Q两点，若|PQ|＝22．且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为22，求椭圆方程．策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可．解：由1122yxbyax得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝bab2，x1x2＝bab1∴|PQ|＝21124)(21221xxxx·babbab14)2(2＝2222baabba∴abba＝a＋b①又PQ的中点C(bab，1－bab)，即C(bab，baa)∴kOC＝22bababbaa②由①②得a＝31，b＝32∴所求椭圆方程为32322yx＝1．评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a，b表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程．［例6］中心在原点的椭圆C的一个焦点是F(0，50)，又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是21，求该椭圆方程．策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”．解：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2222bxay＝1(a＞b＞0)设直线l与椭圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：221221bxay＝1，1222222bxay两式相减得：2212122121))(())((bxxxxayyyy＝0∴)()(2122122121yybxxaxxyy即3＝)1(122ba∴a2＝3b2①又因为椭圆焦点为F(0，50)∴c＝50则a2－b2＝50②由①②解得：a2＝75，b2＝25∴该椭圆方程为257522xy＝1．评注：此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后，得到x的一元二次方程，利用x1＋x2＝1来求，但过程较繁，利用平方差法简便易行．【同步达纲练习】1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A．(0，＋∞)B．(0，2)C．(1，＋∞)D．(0，1)2．已知椭圆92522yx＝1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成α角(0＜α＜π)，则△F2CD的周长为A．10B．12C．20D．不能确定3．椭圆31222yx＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A．±43B．±23C．±42D．±434．设椭圆204522yx＝1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1⊥PF2，则||PF1|－|PF2||等于A．65B．25C．35D．3525．直线y＝x与椭圆42x＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|等于A．2B．554C．5104D．51086．点P是椭圆6410022yx＝1上一点，F1、F2是其焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为___________．7．△ABC的两顶点B(－8，0)，C(8，0)，AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为___________．8．F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则M点的轨迹是___________．9．以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P(53，－4)和Q(－54，3)，则此椭圆的方程是___________．10．在椭圆41622yx＝1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线方程是___________．11．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，－6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是－94，求顶点A的轨迹方程．12