高二数学解析几何综合问题

解析几何综合问题1、已知圆C：222440xyxy，一条斜率等于1的直线l与圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求弦AB最长时直线l的方程；（Ⅱ）求ABC面积最大时直线l的方程；（Ⅲ）若AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l在y轴上的截距的取值范围．解：（Ⅰ）圆C的标准方程是22(1)(2)9xy，其中圆心(1,2)C，半径3r。当直线l通过圆心C时，弦26ABr最大，此时直线l的方程是21yx，即30xy。（Ⅱ）ABC的面积19||||sinsin22SCACBACBACB显然，当90ACB时，ABC面积最大，此时ABC为等腰三角形设直线l的方程：yxm，则有：|12|2322md，即|3|3m解得0m或6m故所求直线l的方程是0xy或60xy．（Ⅲ）设直线l：yxb，带入圆的方程并整理得2222(1)440xbxbb直线圆交于A、B两点，224(1)8(48)0bbb，解得326326(1)b设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理得21212441,(2)2bbxxbxx。若AOB为钝角，则12120xxyy，即有1212()()0xxxbxb整理得212122()0xxbxxb，把(2)代入整理得2340bb，解得41b。又当0b时，直线l过原点，不合题意。综上，直线l在y轴上的截距的取值范围是(4,0)(0,1)．2、将圆22240xyxy按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使OCOAOB=λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．解：圆22240xyxy化为标准方程为22(1)(2)5xy，按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程为x2＋y2＝5．∵OCOAOB＝λa，且|OA|＝|OB|，∴AB⊥OC，OC∥a．∴kAB＝12．设直线l的方程为y＝12x＋m，联立，得221,125.2yxmxy（）（）将方程（1）代入（2），整理得5x2＋4mx＋4m2－20＝0．（※）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－45m，y1＋y2＝85m，OC＝（－45m，85m）．因为点C在圆上，所以2248()()555m，解之，得54m．此时，（※）式中的△＝16m2－20(4m2－20)＝300＞0．所求的直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．3、已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线yx的距离等于2.（Ⅰ）求圆C的方程.（Ⅱ）若直线:1xylmn(2,2)mn与圆C相切，求证：642.mn＋解：（I）设圆C半径为r，由已知得：22abraab∴11abr，或11abr∴圆C方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1xyxy或＋＋.(II)直线0lnxmymn方程为，∵22:(1)(1)1lCxy直线与圆相切，∴221,nmmnnm∴222(),nmmnnm左边展开，整理得，222.mnmn∴2.2mnmn∵0,0,2mnmnmn，∴222mnmn，∴2()420,mnmn∴22,22.mnmn或∵2,2mn∴22mn，∴642.mm4、已知椭圆M的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），P是椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=8.（I）求椭圆M的方程；（II）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，点B、C是椭圆M上不同于点A的两点，其中△ABC的重心是椭圆M的右焦点，求直线BC的方程.解：（I）设|PF1|=m，|PF2|=n，由已知得mn=8，由PF1⊥PF2，得422nm，22222,20)2(,202)(aamnnmnm得即=5，.4222cab故椭圆M的方程为.14522yx（II）设2211,(),,(yxCyxB），直线BC的斜率为k，BC中点为（00,yx），A（0，2）.虽然BC不会与x轴垂直，故21xx，则,1452121yx①,1452222yx②①－②得.54)(5)(40021212121yxyyxxxxyy③由于F2（1，0）是△ABC的重心，所以232,13021021xxxxx得，,12,03221021yyyyy得代入③得,562121xxyyk∴直线BC的方程为.01456yx5、已知可行域0,320,3230,yxyxy的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率22e．（1）求圆C及椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PE的垂线交直线22x于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．解、（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)AA及点(1,3)M为顶点的三角形，∵12AMAM，∴12AAM为直角三角形，∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为224xy．∵2a=4，∴a=2．又22e，∴2e，可得2b．∴所求椭圆C1的方程是22142xy．（2）直线PQ与圆C相切．设000(,)(2)Pxyx，则22004yx．当02x时，(2,2),(22,0),1OPPQPQkk，∴OPPQ；当02x时，00002,2OPOQyxkkyx∴直线OQ的方程为002xyxy．因此，点Q的坐标为00224(22,)xxy．∵0200000000000024224(22)22(22)(22)PQxyxyxxxkyxyxyx，∴当00x时，0PQk，OPPQ；当00x时候，00OPykx，∴1,PQOPkkOPPQ．综上，当02x时候，OPPQ，故直线PQ始终与圆C相切．6、已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为23，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为556。（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求QPEP的取值范围。解：（1）由离心率e=23ac，得2112eab，所以a=2b①因为原点O到直线AB的距离为556，所以55622baab②由①代入②得b2=9，所以a2=36，则椭圆C的标准方程是193622yx（2）因为EP⊥EQ，所以EQEP=0，所以2)(EPEQEPEPQPEP设P(x,y)，则193622yx，即y2=9–42x所以QPEP=6)4(43)49(96)3(222222xxxxyxEP因为–6≤x≤6，所以6≤2)4(43x+6≤81，所以QPEP的取值范围为[6，81]7、已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为31．以P为圆心PF2长为半径作圆P，当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为95512．（Ⅰ）求圆P方程和椭圆方程；（Ⅱ）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程．解：（Ⅰ）∵31e，∴a=3c，b=c22，椭圆方程设为1892222cycx，当圆P与x轴相切时，PF2⊥x轴，故求得P（c，c38），圆半径r=c38，由295512222cr得，c=2，∴椭圆方程设为1323622yx，此时圆P方程为9256)316()2(22yx．（Ⅱ）以F1为圆心，作圆M，使得圆P内切于圆M，公切点设为Q，则点F1、P、Q在一直线上，从而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=12，∴存在圆M：144)2(22yx满足题设要求．F2oF1pxy解析几何综合问题1、已知圆C：222440xyxy，一条斜率等于1的直线l与圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求弦AB最长时直线l的方程；（Ⅱ）求ABC面积最大时直线l的方程；（Ⅲ）若AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l在y轴上的截距的取值范围．2、将圆22240xyxy按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使OCOAOB=λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．3、已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线yx的距离等于2.（Ⅰ）求圆C的方程.（Ⅱ）若直线:1xylmn(2,2)mn与圆C相切，求证：642.mn＋4、已知椭圆M的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），P是椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=8.（I）求椭圆M的方程；（II）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，点B、C是椭圆M上不同于点A的两点，其中△ABC的重心是椭圆M的右焦点，求直线BC的方程.5、已知可行域0,320,3230,yxyxy的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率22e．（1）求圆C及椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PE的垂线交直线22x于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．6、已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为23，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为556。（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求QPEP的取值范围。7、已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为31．以P为圆心PF2长为半径作圆P，当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为95512．（Ⅰ）求圆P方程和椭圆方程；（Ⅱ）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程．F2oF1pxy