高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-1

3.2第1课时直线的方向向量和平面的法向量一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a＝12，－1，3，b＝(－1，2,6)，则()A．α∥βB．α与β相交但不垂直C．α⊥βD．α∥β或α与β重合2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则()A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直C．l1⊥l2D．不能确定3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连结各边中点P、Q、R、S，如图，所得图形是()A．长方形B．正方形C．梯形D．菱形5．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l26．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()A．(0,1,2)B．(3,6,9)C．(－1，－2,3)D．(3,6,8)7．如果一条直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是()A．平行B．垂直C．l⊂αD．不确定8．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是()A．0°θ180°B．0°≤θ≤90°C．0°θ≤90°D．0°θ90°二、填空题9．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.10．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝－1，y，12，已知α∥β，则x＋y＝________.11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．12．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．[三、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．[解析]以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，设|AD|＝2a，|AB|＝2b，∠PDA＝θ，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0，b,0)、N(a，b，atanθ)．∴AB→＝(0,2b,0)，PC→＝(2a,2b,2atanθ)，MN→＝(a,0，atanθ)．∵AB→·MN→＝(0,2b,0)·(a,0，atanθ)＝0，∴AB→⊥MN→，即AB⊥MN.若MN⊥PC，即MN→·PC→＝(a,0，atanθ)·(2a,2b,2atanθ)＝2a2－2a2tan2θ＝0，则tan2θ＝1，而θ是锐角，∴tanθ＝1，θ＝45°.即当θ＝45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线．14．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB.[证明]设DA→＝a，DC→＝b，DP→＝c，则DE→＝12(b＋c)，DB→＝12(a＋b)，PA→＝a－c，∵PA→＝2DB→－2DE→，∴PA→与DB→、DE→共面，∵DB→、DE→不共线，PA⊄平面BDE.∴PA∥平面BDE.15．已知A(－1,2,4)，B(2,3,5)，以AB→的方向为正向，如图在直线AB上建立一条数轴，M、N为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AMMB＝，(2)ANNB＝－3.求点M和点N的坐标．[解析]由(1)由已知得AM→＝2MB→，即OM→－OA→＝2(OB→－OM→)，OM→＝23OB→＋13OA→.设M(x，y，z)，则(x，y，z)＝23(2,3,5)＋13(－1,2,4)，所以x＝43－13＝1，y＝23×3＋23＝83，z＝23×5＋43＝143，因此点M的坐标为(1，83，143)．(2)因为ANNB＝－3，所以AN→＝－3NB→，即ON→－OA→＝－3(OB→－ON→),2ON→＝3OB→－OA→，设N(x，y，z)，则(x，y，z)＝32(2,3,5)－12(－1,2,4)，所以x＝3＋12＝72，y＝92－1＝72，z＝152－2＝112，因此点N的坐标为(72，72，112)．16．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.[解析]以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(22，22，4)，E(22，2，0)，F(2，22，0)，B1E→＝(0，－2，－4)，EF→＝(－2，2，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·B1F→＝－2y－4z＝0，n·EF→＝－2x＋2y＝0.解得x＝y，z＝－24y，令y＝1得n＝(1,1，－24)，又平面BDD1B1的一个法向量为AC→＝(－22，22，0)而n·AC→＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0即n⊥AC→.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.