高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-4

3.2第4课时利用向量知识求空间中的角一、选择题1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，∵cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，∴〈a，b〉＝60°.2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A.13B.23C．－33D.23[答案]C[解析]如图，设棱长为1，∵AE→＝12(AB→＋AS→)＝12(DC→＋DS→－DA→)，∴|AE→|＝14(1＋1＋1＋2×1×1cos60°－2×1×1cos60°)＝32，∴cos〈AE→，SD→〉＝AE→·SD→|AE→|·|SD→|＝12(AB→＋AS→)·SD→32·1＝12(DC→＋DS→－DA→)·SD→32＝－33，故选C.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()A.32B.1010C.35D.25[答案]D[解析]解法一：∵AM→＝AA1→＋A1M→，CN→＝CB→＋BN→，∴AM→·CN→＝(AA1→＋A1M→)·(CB→＋BN→)＝AA1→·BN→＝12.而|AM→|＝(AA1→＋A1M→)·(AA1→＋A1M→)＝|AA1→|2＋|A1M→|2＝1＋14＝52.同理，|CN→|＝52.如令α为所求角，则cosα＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1254＝25.应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，12，1)，C(0,1,0)，N(1,1，12)，∴AM→＝1，12，1－(1,0,0)＝(0，12，1)，CN→＝(1,1，12)－(0,1,0)＝(1,0，12)．故AM→·CN→＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM→|＝02＋122＋12＝52，|CN→|＝12＋02＋122＝52.∴cosα＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1252·52＝25.4．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为()A．(0°，90°)B．90°C．120°D．(60°，120°)[答案]C[解析]OE→＝12(OA→＋OD→)，OF→＝12(OB→＋OC→)，∴OE→·OF→＝14(OA→·OB→＋OA→·OC→＋OD→·OB→＋OD→·OC→)＝－14|OA→|2.又|OE→|＝|OF→|＝22|OA→|，∴cos〈OE→，OF→〉＝－14|OA→|212|OA→|2＝－12.∴∠EOF＝120°，故选C.5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°[答案]C[解析]翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC⊥平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A.23B.54C.33D.36[答案]D[解析]解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．设正方体棱长为1，MF＝24，GF＝62，∴sin∠MGF＝36.解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，∵F(12，0,0)，G(1,1，12)，∴FG→＝12，1，12，设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，则sinθ＝|cos〈n，FG→〉|＝|n·FG→||n|·|FG→|＝122·62＝36.7．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是()A.12B.13C.33D.32[答案]B[解析]在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB，PB于EF，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝13.8．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝12a，这时二面角B—AD—C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C二、填空题9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．[答案]64[解析]解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连结AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝NDAD＝322＝64.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BM＝32AB＝32，∴A12，0，0，B0，32，0，D0，32，1，∴AD→＝－12，32，1，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AD→，e〉|＝|AD→·e||AD→|·|e|＝64.解法三：设BA→＝a，BC→＝b，BD→＝c，由条件知a·b＝12，a·c＝0，b·c＝0，又AD→＝BD→－BC→＝c－b，平面AA1C1C的法向量BM→＝12(a＋b)．设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则sinθ＝|cos〈AD→，BM→〉|＝|AD→·BM→||AD→|·|BM→|，∵AD→·BM→＝(c－b)·12(a＋b)＝12a·c－12a·b＋12b·c－12|b|2＝－34.|AD→|2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，∴|AD→|＝2，|BM→|2＝14(a＋b)2＝14(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝34，∴|BM→|＝32，∴sinθ＝64.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．[答案]30°[解析]解法一：连结BC1，设与B1C交于O点，连结A1O.∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1.∴BC1⊥平面A1B1C，∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中，A1B＝2，BO＝22，∴sin∠OA1B＝BOA1B＝222＝12.∴∠OA1B＝30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，C(0,1,0)．∴DA1→＝(1,0,1)，DC→＝(0,1,0)．设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)则n·DA1→＝0，n·DC→＝0⇒x＋z＝0y＝0令z＝－1得x＝1.∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴A1B→＝(0,1，－1)，cos〈n，A1B→〉＝A1B→·n|A1B→||n|＝12·2＝12.∴〈n，A1B→〉＝60°，所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.11．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，则SC与平面ABCD所成的角的大小为________．[答案]π2－arccos33[解析]AS→是平面ABCD的法向量，设CS→与AS→的夹角为φ.∵CS→＝CB→＋BA→＋AS→，∴AS→·CS→＝AS→·(CB→＋BA→＋AS→)＝AS→·AS→＝1.|AS→|＝1，|CS→|＝(CB―→＋BA―→＋AS―→)2＝|CB―→|2＋|BA―→|2＋|AS―→|2＝3，∴cosφ＝AS→·CS→|AS→|·|CS→|＝33.∴φ＝arccos33.从而CS与平面ABCD所成的角为π2－arccos33.三、解答题12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.[解析](1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(3，0,0)、C(3，1,0)、D(0,1,0)、P(0，0,2)，E(0，12，1)，∴AC→＝(3，1,0)，PB→＝(3，0，－2)设AC→与PB→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·PB→|AC→|·|PB→|＝327＝3714，∴AC与PB所成角的余弦值为3714.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N(x,0，z)，则NE→＝(－x，12，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，NE→·AP→＝0，NE→·AC→＝0.即(－x，12，1－z)·(0，0，2)＝0，(－x，12，1－z)·(3，1，0)＝0.化简得z－1＝0－3x＋12＝0.∴x＝36z＝1，即N点的坐标为(36，0,1)．13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．[解析]以D为原点，{DA→，DC→，DD1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，12，1)，F(12，1,1)．设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CE→＝0n·CF→＝0，∵CE→＝0，－12，12，CF→＝12，0，1，∴－12y＋12z＝012x＋z＝0，∴y＝zx＝－2z，令z＝1，则n＝(－2,1,1)．显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则cos〈n，e〉＝n·e|n|·|e|＝66.设二面角为α，则cosα＝66，∴tanα＝5.14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；(3)求DB与平面DEF所成角的大小．[解析]以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，a2，0)、F(a2，a2，a2)、P(0,0，a)．(1)EF→·DC→＝(－a2，0，a2)·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.(2)设G(x,0，z)，则G∈平面PAD.FG→＝(x－a2，－a2，z－a2)，FG→·CB→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(a,0,0)＝a(x－a2)＝0，∴x＝a2；FG→·CP→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(0，－a，a)＝a22＋a(z－a2)＝0，∴z＝0.∴G点坐标为(a2，0,0)，即G点为AD的中点．(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．由n·DF→＝0n·DE→＝0得，(x，y，z)·(a2，a2，a2)＝0，(x，y，z)·(a，a2，0)＝0.即a2(x＋y＋z)＝0，ax＋a2y＝0.取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．cosBD→，n＝BD→·n|BD→||n|＝a2a·6＝36，∴DB与平面DEF所成角大小为π2－arccos36.15．(2010