高二数学选修导数的几何意义

3.1.2导数的几何意义一、选择题1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是()A．9B．6C．－3D．－1[答案]A[解析]Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，ΔyΔx＝9＋6Δx＋Δx2，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(9＋6Δx＋Δx2)＝9，由导数的几何意可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是9.2．曲线y＝13x3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]Δy＝13(－1＋Δx)3－13×(－1)3＝Δx－Δx2＋13Δx3，ΔyΔx＝1－Δx＋13Δx2，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(1－Δx＋13Δx2)＝1，∴曲线y＝13x3－2在点－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.3．函数y＝－1x在点(12，－2)处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4(x＋1)D．y＝2x＋4[答案]B[解析]Δy＝2ΔxΔx＋12，ΔyΔx＝2Δx＋12，limΔx→02Δx＋12＝4，∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4x－12－2＝4x－4.4．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]由导数的几何意义可知f′(x0)＝－120，故选B.5．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线[答案]C[解析]由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A、B是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f′(x0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f′(x0)”，得C是正确的，而A、B、D都是不正确的，可一一举例说明．6．设f(x)为可导函数且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2[答案]B[解析]limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝lim－2x→0f[1＋(－2x)]－f(1)－2x＝f′(1)＝－1.7．在曲线y＝x2上的点________处的倾斜角为π4()A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)[答案]D[解析]倾斜角的正切值即为斜率，设点(x0，y0)则k＝y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→02x0Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0＝1，∴x0＝12，y0＝x20＝14，∴点坐标(12，14)．8．若函数f(x)的导数为f′(x)＝－sinx，则函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A．90°B．0°C．锐角D．钝角[答案]C[解析]函数图像在点(4，f(4))处的切线斜率为f′(4)＝－sin40，所以函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为锐角．9．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(－1，－5)C．(1,0)或(－1，－4)D．(0,1)或(4,1)[答案]C[解析]k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0(x0＋Δx)3＋(x0＋Δx)－x30－x0Δx＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2＋1]＝3x20＋1＝4，∴3x20＝3，即x0＝±1，∴点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.12C．－12D．－1[答案]A[解析]∵y′|x＝1＝limΔx→1a(1＋Δx)2－a×12Δx＝limΔx→02aΔx＋a(Δx)2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.二、填空题11．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝limΔx→0(2＋Δx)3＋2－23－2Δx＝limΔx→0(2＋Δx－2)[(2＋Δx)2＋(2＋Δx)·2＋22]Δx＝limΔx→0[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝limΔx→0[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.12．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．[答案](2,4)[解析]设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－3(x0＋Δx)－(x20－3x0)Δx＝limΔx→02x0Δx－3ΔxΔx＝2x0－3＝1＝k，故x0＝2，y0＝x20＝4，故切点坐标为(2,4)．13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，x＝2所围成的三角形的面积为________．[答案]83[解析]y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为23，0，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝12×2－23×4＝83.14．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线是________．[答案]4x－y－1＝0[解析]因为y′＝limΔx→0(x＋Δx)3＋(x＋Δx)＋1－(x3＋x＋1)Δx＝3x2＋1，所以k＝y′|x＝1＝3＋1＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.三、解答题15．求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．[分析]点是曲线上的点→求切线的斜率k→得切线方程[解析]y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋3(1＋Δx)＋1－(12＋3×1＋1)Δx＝limΔx→05Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(5＋Δx)＝5，即切线的斜率k＝5，∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)即5x－y＝0.16．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求a的值；(2)求切点的坐标．[解析]设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0(x＋Δx)3－(x＋Δx)2＋1－(x3－x2＋1)Δx＝3x2－2x.由题意知，k＝1，即3x20－2x0＝1，解得x0＝－13或x0＝1.于是切点的坐标为－13，2327或(1,1)．当切点为－13，2327时，2327＝－13＋a，a＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．∴a的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．[点评]利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点．17．求过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．[解析]易知(2,0)不在曲线y＝1x上，令切点为(x0，y0)，则有y0＝1x0.又y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝－1x2，所以y′|x＝x0＝－1x20，即切线方程为y＝－1x20(x－2)①而y0x0－2＝－1x20②由①②可得x0＝1，故切线方程为y＋x－2＝0.18．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．[解析]设P(x0，y0)，Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，ΔyΔx＝2x·Δx＋(Δx)2－3ΔxΔx＝2x＋Δx－3.limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx－3)＝2x－3，∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝32，代入曲线方程得y0＝－94，∴P32，－94.