高二数学选修生活中的优化问题举例

3.4生活中的优化问题举例一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对[答案]B[解析]设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x4时，y′0；当4x≤8时，y′0，所以x＝4时，y最小．2．某箱子的容积与底面边长的关系为V(x)＝x260－x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．以上都不正确[答案]B3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6B．8C．10D．12[答案]B[解析]设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0x24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，∴V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R，当0h43R时，V′0；当43Rh2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大，故应选C.5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为()A．h＝2RB．h＝RC．h＝2RD．h＝2R[答案]A7．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50[答案]C[解析]如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.8．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A.3VB.3VπC.34VD．23V2π[答案]D[解析]设底面圆半径为x，高为h，则V＝πr2h，∴h＝Vπr2.∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·Vπr2＝2πr2＋2Vr.∴S表′＝4πr－2Vr2，∴V＝3V2π，又当x∈(0，3V2π)时，S表′0；当x∈(3V2π，V)时，S表′0，∴当r＝3V2π时，表面积最小．9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.203C．－1D．－8[答案]C[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.10．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.12πr2[答案]A[解析]设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r2－r21.∴S＝4πr2r21－r41.令(r2r21－r41)′＝0得r1＝22r.此时S＝4π·22r·r2－22r2＝4π·22r·22r＝2πr2.二、填空题11．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案]15cm15cm[解析]设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．12．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为及的矩形，则面积之和的最小值为________．[答案]3104l2[解析]设前者宽为x，面积之和为y，则y＝2x·x＋15(l－6x)·310(l－6x)＝10425x2－1825lx＋350l2，y′＝20825x－1825l，令y′＝0得，x＝9104l，∴ymin＝3104l2.13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案]4[解析]设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝25664＝4时S取得最小值．14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π27R，∴S′(R)＝2πR－54πR2＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？[解析]设x表示销售的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价x×销售件数，当x150时，则R＝[200－(x－150)]x＝350x－x2为公司收益，先求R′(x)＝350－2x，令R′(x)＝0，得x＝175时，R有最大值．最大收益为R＝350×175－(175)2＝30625，而当一份合同订购的件数超过175时，则公司的收益开始减小．16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S，水面的高为h，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？[解析]设浸湿的长度为l，AB＝CD＝x，则l＝BC＋2x＝Sh－xcosθ＋2x＝Sh＋(2－cosθ)·x＝Sh＋(2－cosθ)·hsinθ，∴l′＝h·sin2θ－(2－cosθ)·cosθsin2θ＝h·1－2cosθsin2θ.令l′＝0，即h·1－2cosθsin2θ＝0，解得cosθ＝12.∴θ＝60°.∵l只有一个极值，∴它是最小值．将θ＝60°代入l＝Sh＋(2－cosθ)·hsinθ，解得lmin＝Sh＋3h.∴当侧面与地面成60°角时，才能使横断面被水浸湿的长度最小．17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析]设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－200x＋136x3＝300x－136x3－2500(x∈N)令L′(x)＝300－112x2＝0，得x＝60(件)又当0≤x60时，L′(x)0x60时，L′(x)0所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)＝9500元．18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[解析]设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝18－12x4＝4.5－3x(m)0x32，故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3.因为V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，所以x＝0(舍)或x＝1.当0x1时，V′(x)0，当1x32时，V′(x)0.故当x＝1时，V(x)取最大值，并且最大体积为V(1)＝3(m3)．此时长方体的宽为1m，长为2m，高为1.5m.