高一第11讲三角函数概念(教师版)

-1-/8高一数学上第11讲第11讲三角函数概念（教师版）一．学习目标：1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二．重点难点：1.重点：三角函数的定义及应用。2.难点：三角函数值符号的确定．三角函数线的应用。三．知识梳理：1．角的概念:(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．2．弧度制:(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad,1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数:任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－4.三角函数线:如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线5，几点注意：-2-/8高一数学上第11讲[1]．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[2]．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.[3]三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．四．典例剖析：题型一终边相同的角与象限角例1判断真假：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角度是π3.()(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()(3)已知A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝{α|0°α90°}．()(4)终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[解析](1)∵将表的分针拨快10分钟，是顺时针转，∴分针转过的角度是－π3.(2)终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(3)因为小于90°的角，可能是0°～89°的角，也可能是小于0°的角，故A∩B＝{α|k·360°α90°＋k·360°，k∈Z且k≤0}．(4)当角α的终边在x轴上时，可表示为k·180°，k∈Z.当角α的终边在y轴上时，可表示为k·180°＋90°，k∈Z.∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k·90°，k∈Z.例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．课堂小结：解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．例3已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．解因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z.-3-/8高一数学上第11讲所以2k·360°＋180°2α2k·360°＋360°，k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．因为k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°α2k·180°＋90°，k∈Z，所以当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°α2n·360°＋90°，即α2的终边在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°α2n·360°＋270°，即α2的终边在第三象限，所以α2的终边在第一或第三象限．课堂小结：若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论．考查角的终边的位置．课堂练习1：（1）若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答：C（2）已知α是第一象限角，则角α3的终边不可能落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答：D题型二角度制与弧度制例4把下列各角化成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)236π；(3)－4.解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．回顾归纳在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．例5已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝lr＝40－2×1010rad＝2rad.所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.课堂小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2.记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．课堂练习2：(1)已知扇形的半径为10cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为________，面积为________．(2)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．-4-/8高一数学上第11讲[答案](1)203πcm1003πcm2(2)2rad题型三任意角三角函数的定义例6（1）已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于A．－114B.114C．－4D．4[自主解答]由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4.（2）角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是.A.22B．－22C.22或－22D．1解析：由已知得r＝a2＋a2＝2|a|，sinθ＝ar＝a2|a|＝22a0，－22a0所以sinθ的值是22或－22.（3）[2011年高考江西卷]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________．解：若角α终边上任意一点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝y16＋y2，又sinθ＝－255，∴y16＋y2＝－255，解得y＝－8.例7（1）已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t.r＝x2＋y2＝22(4)(3)tt＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.(2)设90°α180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值；解析：(1)∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°α180°，∴当x＝－3时r＝22，sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.当0x时，sinα=5，tanα不存在。课堂小结：任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．-5-/8高一数学上第11讲课堂练习3：（1）已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.答：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22.（2）已知角α的顶点在原点，始边为x轴非负半轴，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα＜0，求实数k.解：由sinα＝25＞0，cosα＜0，知α位于第二象限，故k＜0，设P(x，kx)(x＜0)是终边上一点，则sinα＝kxk2x2＋x2＝－k1＋k2＝25⇒k＝－2.题型四三角函数符号例8（1）已知cosθ·tanθ0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案C解析若cosθ0，tanθ0，则θ在第四象限；若cosθ0，tanθ0，则θ在第三象限，∴选C.（2）若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα0B．tanα－sinα0C．cosα－tanα0D．tanαsinα0答案B解析在第三象限，sinα0，cosα0，tanα0，则可排除A、C、D，故选B.（3）若θ是第二象限角，试判断sin(cos)cos(sin2)的符号；∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)，∴－1cosθ0,4kπ＋π2θ4kπ＋2π(k∈Z)，－1≤sin2θ0，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0，sin(cos)cos(sin2)0.∴sin(