久期与凸性

债券价格的波动与利率风险的衡量——“久期”与“凸性”的运用期限(maturity)与久期(duration)债券(包括贷款)的期限并没有充分反映信用活动所涉及的时间因素，它只是衡量了最后一次支付(主要是本金的支付)所需要的时间，而对于债券或贷款存续期间所支付的各期利息(在分期等额付款的贷款中还包括一部分本金)的数额大小及其距今的间隔时间的长短等基本信息则全部忽略；而“久期”则考虑到了这些因素。期限这个概念的局限性某银行向ABC公司提供了一笔200万美元的贷款，期限为5年，无宽限期。宽限期(graceperiod)是指即贷款期限中只需支付利息、而无须偿还本金的期限。贷款的年利率为10%，复利计息，每年计息一次。银行要求ABC公司以年金的形式分期等额偿还贷款的本息(amortization)，即每年年底偿付一笔相等的金额，并在第5年年末将贷款的本金和利息全部还清。某银行向ABC公司提供了一笔200万美元的贷款，期限为5年，无宽限期；贷款的年利率为10%，复利计息，每年计息一次。银行要求ABC公司以年金的形式分期等额偿还贷款的本息，即每年年底偿付一笔相等的金额，并在第5年年末将贷款的本金和利息全部还清。问这笔年金为多少美元？1)r1(r)r1(PVRnn093.594527$1%)101(%1010%)(10000002$55这表明，ABC公司每年年底向银行偿付527594.93美元，到第5年年末就能连本带息将贷款全部还清。分期等额偿付表年末偿付的金额支付的利息偿还的本金贷款余额0---------$2000000.001$527594.93$200000.00$327594.93$1672405.072$527594.93$167240.51$360354.42$1312050.653$527594.93$131205.07$396389.86$915660.744$527594.93$91566.07$436028.86$479631.885$527594.93$47963.05$479631.880分期等额偿还贷款的本息+$527,595+$527,595+$527,595+$527,595+$527,595012345－$2,000,000假定贷款有4年的宽限期+$2,200,000+$200,000+$200,000+$200,000+$200,000012345－$2,000,000假定采用贴现的方式借用资金+$2,000,000012345－$1,241,843有宽限期的“久期”计算过程(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)=(4)×(1)收到现金流入所需要的时间现金流动额现值系数(折现率为10%)现金流的现值现金流的现值与所需时间的乘积1年$200,0000.90909091$181,818.18181,818.182年$200,0000.82644628$165,289.26330,578.513年$200,0000.7513148$150,262.96450,788.884年$200,0000.683013455$136,602.69546,410.765年$2,200,0000.620921323$1,366,026.916,830,134.55合计$3,000,000-------$2,000,000.00.8,339,730.88久期鍈鍈×n1ttn1tt)CF(PVt)CF(PVD=16986544.4000,000,288.730,339,8分期等额偿还的“久期”计算过程(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)=(4)×(1)收到现金流入所需要的时间现金流动额现值系数(折现率10%)现金流的现值现金流的现值与所需时间的乘积1年$527,594.930.90909091$479,631.75479,631.752年$527,594.930.82644628$436,028.87872,057.733年$527,594.930.7513148$396,389.881,189,169.644年$527,594.930.683013455$360,354.441,441,417.745年$527,594.930.620921323$327,594.941,637,974.71合计$2,637,974.65-------$2,000,000.005,620,251.57久期n1ttn1tt)CF(PVt)CF(PVD=81.2000,000,257.251,620,5利率变动对贷款价值的影响假如贷款的利率固定不变。假定贷款协议刚签订市场利率就出现变动，在这种情况下，贷款的价值将出现什么变化？如果是采用贴现的方式融通资金，由于在整个融资期间它只有一次现金流动，它的久期与期限相同，贷款的价值变化与市场利率变化相同。不同的“久期”对贷款价值的影响(1)若贷款协议签订后，市场利率从10%上升到11%，对有宽限期的贷款价值的影响为：790786764.31.0116986544.4r1DMD；%790786764.3%1790786764.3PdP；27.184.924,1$40379078676.01000,000,2$。不同的“久期”对贷款价值的影响(2)若贷款协议签订后，市场利率从10%上升到11%，对分期等额偿付法下的贷款价值的影响为：554659814.21.01810125795.2r1DMD；%554659814.2%1554659814.2PdP；80.906.948,1$40255465981.01000,000,2$。“麦考莱久期”“久期”(duration)就是对以债券价格波动为主要内容的利率风险的一个严密的表达方式和适当的衡量指标，它能帮助市场参与者有效地实施资产组合策略与套期保值策略。“久期”这个概念最早是由弗里德里克•麦考莱(FrederickR.Macaulay)在1938年发表的一篇研究文章中提出的，他在现值的基础上，衡量了与金融工具(如附息债券)有关的现金流的平均期限(theaverageofthestreamofpayment)“久期”是债券的各期支付(包括息票的支付与本金的偿还)所需时间长度的加权平均数。“久期”的计算公式“久期”以附息债券价格的函数式n1tt0)CF(PVP为分析基础，在对收益率(r)求一阶导数之后，再在等式两边同时除以债券价格(P)，得到：)r1(1DP1drdP。上式中的D便是“久期”的概念，它的展开式为：n1ttn1tt0n)r1(nCF)n(2)r1(2CF)2()r1(1CF)1()CF(PVt)CF(PVP....D对公式的解释公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间进行加权，最后再作加总在这里，权重的意义在于它代表着未来的每一次支付占全部债券价值中的特定比重，即每期收到的现金流的现值只代表了债券市场价格的一个部分。“久期”的计算例子某种债券的到期收益率为10%，面值为$1000，票面利率为8%，每年付息一次，债券的现行市价为$950.25，存续期还剩3年。根据下表，我们可计算出该种债券的“久期”。(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)=(4)×(1)收到现金流入所需要的时间现金流动额现值系数(折现率为10%)现金流的现值现金流的现值与所需时间的乘积1年$800.9091$72.7372.732年$800.8264$66.12132.233年$10800.7513$811.402434.21合计$1240-------$950.252639.17久期n1ttn1tt)CF(PVt)CF(PVD=25.950$17.6392=2.7771639另一种计算“久期”的方法(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)(6)=(5)×(1)收到现金流入所需要的时间现金流动额现值系数(折现率为10%)现金流的现值现金流的现值对债券市价的比率(权重)现金流的现值对债券市价的比率与现金流动所需时间的乘积1年$800.9091$72.730.0765356480.0765356482年$800.8264$66.120.0695816890.1391633783年$10800.7513$811.400.8538805572.561641673合计$1240$950.251.002.7773407(久期)“麦考莱久期”的实质意义“麦考莱久期”表面上所呈现的债券加权平均期限并无实质意义，它的真正实用价值在于：“久期”这个概念开创性地将债券收益率的变动和债券的价格变动联系了起来，即：“久期”是对债券价格波动性或对收益率变动的敏感性的衡量：“久期”越是大，债券价格对收益率变动的反应就越是强烈，这意味着利率风险就越是大；反之则反是。)dr(r1DPdP“修正后的久期”市场参与者为了更直观地表现债券收益率变化与价格波动之间的联系，将称作“修正后的久期”(modifiedduration)，并以MD来代表。经过这样处理之后，人们就可将债券收益率的变动直接与“修正后的久期”相乘，从而得到预期中的债券价格百分率的变动，即：。)r1(DdrMDPdP“修正后久期”的应用案例某债券的现行市价为$1,000，到期收益率为8%，债券的久期为10年。如果收益率增至9%，这款债券的价格预计将出现大多大的变化？收益率变动1%，即：dr=9%－8%=1%；“修正后的久期”为9.25926，即；=―9.25926×1%=－9.26%。债券价格大约下跌9.26%，即债券价格将跌至$907.40[=$1000×(1－9.26%)]。25926.908.0110r1DMDdrMDPdP影响“久期”的因素(1)债券的息票率：在债券的期限和到期收益率相同的情况下，息票率越是低，投资者期望的回报中有更多的部分集中在到期收回的本金之中而不是包括在到期日之前支付的各次息票之中，因此，“麦考莱久期”就越是大。这意味着债券价格的波动性就越是突出；反之反是。(2)债券的到期收益率：投资者用来对未来现金流动进行贴现的贴现率的高低对债券价格的波动性也有影响。在特定的息票率和期限的情况下，债券的到期收益率越是高，其“久期”就越是短；反之反是。(3)债券的期限：“久期”与“期限”成正比关系。“久期”的变化从动态的角度来看，当市场利率发生变动时，“久期”也随之改变。假如市场利率上扬，债券的收益率也跟着提高，“久期”相应变短，因此，收益—久期曲线(yield-durationcurve)向左下方移动，这意味着债券的价格风险减小。反之，假如市场利率下降，收益—久期曲线也跟着向右上方移动，“久期”因收益率降低而相应变长。由于“久期”与利率风险相联系，这意味着债券的价格风险增大。“久期”与期限的具体联系“久期”与期限的具体联系取决于：(1)债券的付息采用的是零息票形式还是附息形式？(2)假如是附息债券，它是不是永久债券？(3)假如不是永久债券，那么，它是平价发行的，还是溢价或折价发行的？零息票债券的“久期”与期限(T)相同，两者之间存在着一对一的联系。这是因为零息票债券只有一次现金流动，而附息债券则不同，它的“麦考莱久期”总是小于债券的期限或存续期(maturity)。“久期”与期限的动态联系久期零息票债券折价债券永久公债平价债券溢价债券期限“久期”在利率风险管理中的运用案例(免疫策略)美国的一家养老基金所出售的一种保单承诺在今后15年里向保单持有者每年支付$100。假设市场的贴现率为10%，这项15年期的$100年金的现值为$760.61。养老基金这项负债的“久期”值为6.279，“修