定积分知识点

1定积分知识点1.定积分的概念：一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb-==LL将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=），在每个小区间[]1,iixx-上任取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果xD无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx，其中积分号，b－积分上限，a－积分下限，()fx－被积函数，x－积分变量，[,]ab－积分区间，()fxdx－被积式。说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）记为()bafxdx,而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn;（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],ab上函数()fx连续且恒有()0fx，那么定积分bafxdx表示由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx=所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分bafxdx的几何意义。说明：一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。2分析：一般的，设被积函数()yfx=，若()yfx=在[,]ab上可取负值。考察和式12()infxxfxxfxxfxx不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx于是和式即为121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx()bafxdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）3．定积分的性质性质1()bakdxkba；性质2()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）；性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）(1)()()baabfxdxfxdx；(2)()0aafxdx；说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx4.微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：babaaFbFxFdxxf)()(|)()(（熟记11nxxnn（1n），xxln1，xxcossin，xxsincos，aaaxxln，xxee）3巩固训练题一．选择题：1．50(24)xdx=（）A．5B.4C.3D.22．211lnxdxx=（）A．21ln22B.ln2C.2ln2D.ln23．若11(2)3ln2axdxx，且a＞1，则a的值为（）A．6B.4C.3D.24．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）A．203gtB．20gtC．202gtD．206gt5.由抛物线xy2和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A．1B．34C．32D．316.如图，阴影部分的面积是（)A．32B．329C．332D．3357.320|4|xdx=（）A．321B．322C．323D．3258．dxeexx10)(=（）A．ee1B．2eC．e2D．ee19．曲线]23,0[,cosxxy与坐标轴围成的面积（）A．4B．2C．25D．310．230(2cos1)2xdx=（）A．32B.12C.12D.32二．填空题：11.若20(345)axxdx=a3-2（a＞1），则a=12.曲线2xy与直线2xy所围成的图形的面积等于13.由曲线22yx与直线yx所围成的平面图形的面积为14.已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，则把弹簧拉长0.1米所作的功为15.2224xdx三．计算下列定积分的值16.312)4(dxxx；17.dxxx20)sin(；18.dxx222cos;第6题图419．94(1)dxxx;20.(cos5sin2)daaxxxx21.122320(9)xxdx;四．解答题：22.设)(xfy是二次函数，方程0)(xf有两个相等的实根，且22)(xxf．（1）求)(xf的表达式．（2）若直线)10(ttx把)(xfy的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．23.求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．答案：AADCB，CCDDD；11.2；12.29;13.29;14.变力函数为F=490x．于是所求的功为20.10.100490490()2.452xWxdx（J）;15.2;16.203；17.218；18.214;19.提示：32221()32xxxx;2716;20.提示：(sin6cos2)cos5sin2xxxxxxx，4a;21.提示：31323222((9))(9)9xxx，529;22.（1）12)(2xxxf；（2）3211t．23.首先求出函数xxxy223的零点：11x，02x，23x.又易判断出在)0,1(内，图形在x轴下方，在)2,0(内，图形在x轴上方，所以所求面积为dxxxxA0123)2(dxxxx2023)2(1237。