高二竞赛讲义生成函数方法5

高二数学竞赛班二试讲义第5讲生成函数方法班级姓名一、知识点金1．生成函数方法，也称母函数法，应用相当广泛。这种方法就是将离散数列和一类函数对应起来，通过对函数的研究来确定离散数列的性质。在初等数学中，主要有下面两类基本的对应。（1）有限的数列01,,,naaa与函数01()ncnAxaaxax(的各项系数)对应。（2）有限的整数数列1,,naa与函数12()naaacAxxxx(的各项指数)对应。二、例题分析例1．证明：（1）011110kkkkkmnmnmnmnmnCCCCCCCCC（2）0212222220,()()()(1)()(1),nnnnnnnnnnCCCCCn若是奇数，若是偶数。例1．（1）考虑(1)(1)mnxx中kx的系数，一方面，多项式(1)(1)(1)mnmnxxx展开式中kx的系数是kmnC另一方面，00(1)(1)mnmniijjmnijxxCxCx展开式中kx的系数是011110kkkkmnmnmnmnCCCCCCCC所以011110kkkkkmnmnmnmnmnCCCCCCCCC（2）考虑(1)(1)nnxx中nx的系数，一方面，多项式00(1)(1)(1)nnnniijjjnnijxxCxCx展开式中nx的系数是2021222200(1)(1)()()()()(1)()nnnkkkkknnnnnnnnnkkCCCCCCC另一方面，22200(1)(1)(1)(1)()(1)nnnnniiiiiinniixxxCxCx展开式中nx的系数分奇偶讨论。为220,(1),nnnnCn若是奇数，若是偶数。，得证。【评注】例1体现了生成函数方法证明组合恒等式的基本想法：针对恒等式的特点，考虑适当的生成函数，用两种方法计算其某一项的系数，综合起来，得出结果。两种方法计算同一个量，有时称为“算两次）。例2．设22012(1)nnnxxaaxax，证明：1100,3|(1)(1),3kkknknllnkaCaCaCkl若若例2．一方面，220120(1)(1)(1)()nnnjjjnnnjxxxCxaaxax展开式中kx的系数是110(1)kkknknaCaCa另一方面，2330(1)(1)(1)(1)nnnnjjjnjxxxxCx中，kx的系数是0（若3|k），或(1)llnC（若3kl）综合两个方面得出结果。例3．证明：22102knknknnknkCCC例3．证明：1()kxx展开式的一般项是2iikkCx，当k为奇数时，122kkkkCC是1x的系数；当k为偶数时，22kkkkCC是常数项。所以1(1)()kxxx的常数项是2kkC。于是求证等式的左边是102(1)()nknkknkCxxx的常数项。另一方面，111002(1)()(1)2()(1)(2)nnknkkknkknnnkkCxxxxCxxxxx21(1)nnxx的常数项是21nnC。例4．设p是一个素数，证明：2021(mod)pjppppjjCCp例4．三、同步检测1．