高伟-《定积分在几何中的应用》

1《定积分在几何中的应用》说课教案随州二中高伟大家下午好.我说课的题目是《定积分在几何中的应用》，内容选自于新课程人教A版选修2－2第一章第7节。我将从教材分析，教法学法分析，教学过程分析这三大方面阐述我对这节课的分析和设计。一、教材分析1、教材的地位和作用定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。2教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）1、知识与技能目标：通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。3教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。要把握这个重点，要真正掌握有一定的难度，因此，本节课的难点确定为2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。二教法，学法分析1教法分析应用型的课题是培养学生观察，分析，发现，概括，推理和探索能力的极好素材，本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法：即学生在老师引导下，观察发现、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感性到理性主动建构新知识，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位.2学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”,教是为了不教,一定要让学生自己去发现，去探索。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法等学习方法。2三教学过程分析主要是四个环节：创设情境，导入新知——合作交流，探究问题-——实践应用，解决问题-----巩固总结，拓展提升1创设情境，导入新知(1)情景引入：展示两张荆州古城九龙桥的图片，九龙桥建于明代，由9个半圆形的石拱组成,另两张图片为我家乡的随州一桥，桥体是6个抛物线形的拱形,提问：要计算水流量，需要用到拱形的面积。半圆形的拱形面积好算，那么抛物线形的拱形面积该如何计算？【设计意图】:在生活实例的启发下，引导学生把所学知识与实际问题联系起来，本环节安排学生自主讨论，自主发现解决问题的方向——定积分跟面积的关系，激发学生的求知欲和探索欲，设下悬念，为后面作开启性的铺垫，同时也引出本节课的课题：定积分在几何中的应用。(2)课前复习（1）定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分xdxfba)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，老师要强调，当f(x)0时，所围成的曲边梯形位于x轴的下方，此时的定积分是负值，等于负S。（2）微积分的基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F´(x)=f(x)，那么:【设计意图】：以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识，这些知识是本节课的理论基础，定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的计算方法，两者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题。2合作交流，探究问题(1)热身训练：()d()()()bbaafxxFxFbFa3练习１．计算dxx2224２．计算dxxsin22222214dxx0sindxx【设计意图】：这两个题目如果直接用微积分基本定理去求比较麻烦，假如用定积分的几何意义去求，则非常简单。应用数形结合的思想，由数到形，启发学生发现定积分与几何图形面积之间的关系(2)合作交流：用定积分表示下面5个图形阴影部分的面积图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）学生思考2分钟后举手发言，这是当时学生回答前三个的视频。她说第三个时说错了，把A到C上的积分当成了面积，大部分学生都发现了错误，后来全班同学一起说出了第三个的答案。【设计意图】：这五个图形是由浅入深，循序渐进设计的，一步步加深了难度，由学生自己找出答案，得到一个初步的感性认识，即各种不同类型的阴影部分面积都可以转化为曲边梯形去求面积，进而再用定积分去表示面积。要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积.（3）问题探究:曲边形面积的求解的一般思路0yx4图（6）【师生活动】:课件展示图6，提问，不规则的曲边形面积怎么求？学生思考，探究，讨论，展示结论。图7【设计意图】：进一步拓展到不规则曲边形的面积问题，有了前面的铺垫，学生很快发现曲边形面积可以由两个曲边梯形面积相减得到，这样就有了初步的理性认识，将求解不规则曲边形的面积问题统统化归为曲边梯形去求解，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法，即由特殊到一般。3实践应用，解决问题俗话说，磨刀不误砍柴功，有了以上的那些准备，我们就可以解决实际问题了,下面来看例1【例题实践】例1计算由曲线y=x2与y2=x所围图形的面积．解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组22xyxy得到交点横坐标为0x及1xss曲边梯形OABCs曲2xy边梯形OABDxy2dxx10dxx102A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形面积A=A1-A2ab1abXA0yxyOABCD11-1-1510310233132xx313132图8让学生自己动手画图找出所围面积，思考,然后学生口答,教师一步步板书解题过程。我觉得不能过多的应用课件而忽视数学的思维过程,让数学味变淡了，一定要有必要的板书.做完后再让学生总结求由两曲线围成的平面图形面积的一般步骤。这位同学说了三步，大致是正确的，给予鼓励，板书步骤。但是他忘了最关键的一步，就是要把曲线的方程转化为函数才能求积分，y2=x要转化为函数xy在0到1上的积分。老师在此强调要确定被积函数和积分区间。【设计意图】：例1是教材中这节内容的第一个例题，学生借助图形直观，把所求面积进行适当的分割，突出应用定积分解决平面图形面积问题这一重点，化解如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题这一难点。变灌注知识为主动获取知识，从而使学生真正成为课堂教学活动的主体。通过对方法的总结，使学生知识系统化，解题过程规范化，整个过程充分体现数形结合和化归思想的数学思想方法。【例题实践】例２．计算由直线y=x-4，曲线xy2以及x轴所围图形的面积.图9图10图11方法1（图9）：方法2（图10）：方法3（图11）：例2要求学生分组合作完成，合作交流后学生很积极的展示自己的研究成果，下面请看方法1和方法2的视频。这两种方法都是常规方法，还有第三种很好的分割方法，也有少数同学想到了，但不知如何去做，老师提示后，有的学生也做出来了，请看视频。这位同学说完后，全班同学报以热烈的掌声，至此，学生有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，品尝到了探索的喜悦和学习的乐趣。【设计意图】：此题的目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维。教师点评：遇到一题多解时要找最简单的解法，做辅助线时，尽量将曲边3402)4(40240dyydyyS])4(2[284844021dxxdxxdxxSSSdxxdxxS8480)4(26xhby0),2(hb形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形,根据图形特点，选择最优化的分割面积方法和积分方法4巩固总结，拓展提升（1）归纳总结:师生共同叙述求由曲线围成的平面图形的面积的解题步骤,特别强调如果选择y为积分变量时，要把函数变形为用y表示x的函数第一步：画草图，求出曲线的交点坐标第二步：将曲边形面积转化为曲边梯形面积第三步：确定被积函数及积分区间(如果选择y为积分变量时，要把函数变形为用y表示x的函数)第四步：计算定积分，求出面积（2）应用提升现在来解决本节课开始时提出的问题，如何计算抛物线拱形的面积如图12，桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b,求抛物线拱的面积？为了降低难度，设计了三个问题让学生思考：图12问：大致的解题步骤是什么？答：先建系，求解抛物线方程，再求面积问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系【学生活动】学生独立求解抛物线方程投影学生练习，建立如图13的直角坐标系代抛物线上一点),2(hb入方程，则有2)2(bah解得24bha，所以抛物线方程为224xbhy.问：所求图形有什么特点？答：左右对称，可以解答一半取2倍。【师生活动】：在黑板上与学生共同完成设一半的面积为S，则有dxxbhhbsb)4(22222202032)34(22bxbhhb……bh32【设计意图】：把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.hb7实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。同时巩固了用定积分求解面积问题的基本方法和步骤。（3）互动小结问：本节课我们做了什么探究活动呢？答：用定积分解曲边形面积。问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？答：第一步：画草图，求出曲线的交点坐标第二步：将曲边形面积转化为曲边梯形面积第三步：确定被积函数及积分区间(如果选择y为积分变量时，要把函数变形为用y表示x的函数)第四步：计算定积分，求出面积问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？小结部分设计了四个问题：第一个问题，学生回答：用定积分解曲边形面积。第二个问题，学生回答解题的四步。第三个问题学生回答选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.第四个问题学生不知道怎么说，老师总结：答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。【设计意图】：提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。（4）分层作业巩固型作业（必做题）:书本P60习题A组1B组3拓展型作业：（选做题）(例2变式题）计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成图形的面积，请尽量写出多种解法。作业是课后的又一顿盛餐，要让大部分学生能够吃得饱，吃得好，还要不油腻，好消化，因此设计了分层作业，面向全体学生，突出本节课的知识点，既达到复习巩固的目的，又兼顾学有余力的同学有自由发展的空间.【设计意图】：作业布置突出本节课知识点,适量,达到复习巩固的目的,又兼顾学有余力的同学有自由发展的空间,培养其探索精神和创新能力.（5）板书设计以下是这节课的板书设计。我的说课到此为止，有不到之处还请各位专家评委批评指正。最后借这个难得的机会问各位专家，老师一个问题，就是问什么新课程要在高中数学中引入定积分部分，这部分内容是不是有点难，我想得还不是很透彻，恳请各位能为我答疑解惑。