高三复习数列通项公式的求法

数列通项公式的求法1．前n项和法（知nS求na）11nnnSSSa)2()1(nn例1、已知数列}{na的前n项和212nnSn，求数列|}{|na的前n项和nT变式：已知数列}{na的前n项和nnSn122，求数列|}{|na的前n项和nT答案：72121222nnnnTn)7()6(nn；变式：72121222nnnnTn)7()6(nn练习：1、若数列}{na的前n项和nnS2，求该数列的通项公式。答案：122nna)2()1(nn2、若数列}{na的前n项和323nnaS，求该数列的通项公式。答案：nna323、设数列}{na的前n项和为nS，数列}{nS的前n项和为nT，满足22nSTnn，求数列}{na的通项公式。。答案：2231nna2.形如)(1nfaann型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.（2003天津文）已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,证明213nna证明：由已知得：故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn=.213133321nnn213nna.例2.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn例3.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：nan14评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。3.形如)(1nfaann型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例1、在数列}{na中111,1nnannaa)2(n，求数列的通项公式。答案：12nan练习：1、在数列}{na中1111,1nnannaa)2(n，求nnSa与。答案：)1(2nnan2、求数列)2(1232,111nannaann的通项公式。解答：由已知当123295,73,51,1232,213423121nnaaaaaaaannaannnnn，N-1个式子累乘，得到1432nan当n=1，也满足，所以1432nan)(Nn4.形如srapaannn11型（取倒数法）例1.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na解：取倒数：2111nnaa2111nnaa.3422322)1(111nannaann练习：1、若数列}{na中，11a,131nnnaaa,求通项公式na.答案：231nan2、若数列}{na中，11a，112nnnnaaaa，求通项公式na.答案：121nan5．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1AacAann,利用待定系数法求出A例1．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na.分析：待定系数法构造)(1AacAann构造新的等比数列。解：由,21211nnaa设)(211AaAann,解出A=-1,则)1(2111nnaa所以数列}1{na构成以111a为首项，以21为公比的等比数列所以1)21(1nna,即1)21(1nna.练习：1、若数列}{na中，21a,121nnaa,求通项公式na。答案：121nna2、若数列}{na中，11a,1321nnaa,求通项公式na。答案：1)32(23nna6.形如)(1nfpaann型（构造新的等比数列）(1)若bknnf)(一次函数(k,b是常数，且0k)，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列{}na中，231a，3621naann,求通项na.解：原递推式可化为bnkabknann)1()(21比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996，故96)21(9nann.练习：1、已知数列na中，31a，2431naann，求通项公式na答案：nann2351(2)若nqnf)((其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可②若1p时，即：nnnqapa1，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以1nq.即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，例1.在数列{}na中，521a，且)(3211Nnaannn．求通项公式na解：由)(2311Nnaannn得31332311nnnnaa.设nnnab3，则b31321nnb.即：)51(32511nnbb,所以51nb是首项为52)51(325101ab，公比为32的等比数列.则1)32(5251nnb=nn)32(53)1(1,即：51)32(53)1(31nnnnnba,故nnnna351253)1(1评注：本题的关键是两边同除以3n，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.练习：1、已知数列na中，211a，nnnaa)21(21，求通项公式na。答案：121nnna2、已知数列na中，11a，nnnaa2331，求通项公式na。答案：nnna233717.形如11nnnqapaa(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时用转化法例1.数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.解：把03412nnnaaa变形为)(3112nnnnaaaa.则数列nnaa1是以612aa为首项，3为公比的等比数列，则1136nnnaa利用类型6的方法可得nna311.（2）当042qp时用待定系数法.例2.已知数列{}na满足06512nnnaaa，且5,121aa,且满足,求na.解：令)(112nnnnxaayxaa,即0)(12nnnxyaayxa,与已知06512nnnaaa比较，则有65xyyx,故32yx或23yx由32yx来运算，即有)2(32112nnnnaaaa,则数列nnaa21是以3212aa为首项，3为公比的等比数列，故nnnnaa333211,即nnnaa321①由23yx来运算，即有)3(23112nnnnaaaa,则数列nnaa31是以2312aa为首项，2为公比的等比数列，故nnnnaa222311,即nnnaa231②由①②可得nnna23.评注：形如nnnbaaaa12的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程bxax)(的二根为,,设nnnqpa,再利用21,aa的值求得p,q的值即可.练习：1、若数列}{na中，21a,32a，nnnaaa2312，求通项公式na答案：121nna2、若数列}{na中，51a,22a，2132nnnaaa)2(n，求通项公式na书本P69第6题，答案：]13)1(37[4111nnna