高三总复习(三角函数重要知识点)

1三角函数知识点一、任意角的三角函数1、终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为．2．象限角是指：．3．区间角是指：．4．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．5．弧度与角度互化：180º＝弧度，1º＝弧度，1弧度＝º．6．弧长公式：l＝；扇形面积公式：S＝.7．定义：设P(x,y)是角终边上任意一点，且|PO|＝r，则sin＝；cos＝；tan＝；8．三角函数的符号与角所在象限的关系：9、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域10．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝，1＋cot2α＝(2)商数关系：tanα＝，cotα＝(3)倒数关系：tanα＝1，sinα＝1，cotα＝12．诱导公式：－απ－απ＋α2π－α2kπ＋αsincos－＋－+cosx,＋＋－－sinx,－＋＋－tanx,xyOxyOxyOxyO2222323sincos规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．三、两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝)tan(tantan4．常见的角的变换：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2＋2α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β2＝(α－2)－(2－β)；)4()4(xx＝2四、二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.2．公式的变用：1＋cos2α＝；1－cos2α＝．五、三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；3③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2]、[0，π]、（2,2）的角．六、三角函数的恒等变形（一）、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴化繁为简；⑵左右归一；⑶变更问题．（二）、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．七、三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象注：⑴正弦函数的对称中心为，对称轴为．⑵余弦函数的对称中心为，对称轴为．⑶正切函数的对称中心为．3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(ω0)的图象．令x'＝ωx＋转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．4．函数y＝Asin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系．振幅变换：y＝Asinx(A0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都，(A1)或(0A1)到原来的倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y＝sinωx(ω0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标(ω1)或(0ω1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω0)的周期为．4相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向(0)或向(0)平移个单位而得到的．由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(0)或向右(0)平移个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(0)或向右(0)平移个单位．八、三角函数的性质1．三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0)，则T＝．⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．注：该结论可以推广到其它任一函数．九、三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标就是方程()()fxgx的解；反之，要求方程()()fxgx的解，也只要求函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解y＝sinx相位变换周期变换振幅变换y＝sinx周期变换相位变换振幅变换5二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)mn，则必有()()0fmfn，再取区间的中点2mnp，再判断()()fpfm的正负号，若()()0fpfm，则根在区间(,)mp中；若()()0fpfm，则根在(,)pn中；若()0fp，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．