高数(下)总复习题

1.给出下列方程的特解形式，不必解出结果：（1）132xyy（2）xeyyyxsin2652.求下列方程通解：（1）byayxy（2）0cos)sin1(yyyx（3）xyy2cos243.设)0)((xxf可微，且1)0(f。现已知)(xfy，x轴，y轴及x轴上经过点(x,0)的垂线所围成的图形的面积值与曲线)(xfy在],0[x上一段弧长的值相等，求)(xf4．设z=arctgxy+ln(x2+y),求dz。5．设Z=f(x2y,xy)有二阶连续偏导数，求yxz26．设zx=lnyz求yzxz,.7．求函数z=2x2+y2在点M(1,1)沿y=x的垂线方向的方向导数.8．求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。9．证明：曲面f(czbyczax,)=0上任一点处的切平面过一定点。10．求点P（2，8）到抛物线y2=4x的距离。11．求旋转椭球面x2+y2+42z=1在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。12．设M为椭球面上位于一卦限的点，其切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小，求M点。13．更换积分顺序：（1）I=dyxyxfdxaxaxa22202,（2）I=dyyxfdxdyxyxfdxx21)1(1010022,,（3）I=dyyxfdxdyyxfdxxx31)3(0100212,,14．计算二重积分I=Dydxdye,2D：以（0，0），（1，1）和（0，1）为顶点的三角形。15．计算二重积分I=dxdyxyyx1011216．计算I=dvzyx222，其中：x2+y2≤z2,x2+y2+z2≤R2,z≥0.17．求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围立体的体积。18．将三重积分I=dvzyxf,,分别用直角坐标、极坐标、球面坐标化为累次积分，其中Ω：x2+y2+z2≤4,z≥223yx。19．求球体x2+y2+z2≤R2与x2+y2+z2≤2Rz的公共部分体积.20已知三次积分:I=dzyxdydxRxRyxRyxRR0022232243222222)((1).确定在柱面坐标下和球面坐标系下的三次积分;(2).任选一种计算I值.21．将I=zdv（其中Ω是由z2=x2+y2,z=1所围成的立体）分别表为直角坐标、柱面坐标、球面坐标系下的三次积分。22．计算I=dszy222其中是x2+y2+z2=a2与x=y相交的圆周。23计算I=Cdsyx)(，其中C是以O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）为顶点的三角回路。24计算I=,)(22dsyx其中为立体122zyx的边界曲面。25计算I=dszxzyyx1222244，是由z=22yx被x2+y2=2x所截部分。26求球面2222azyx在柱面022axyx内部的表面积。27用几种不同的方法计算I=Cxdyydx，其中C是起点O（0，0），终点为A（2，0）的上半圆周:22(x1)y1,y0-+=?28计算I=Cxxdymxyedxmyye)cos()sin(，其中C是摆线)0()cos1()sin(ttayttax且参数增加的方向为积分路径的方向。29计算I=Cyxydxxdy224，其中C是以（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1），方向取逆时针方向。30设xf有连续的二阶导数，且满足Cdyxfdxxyxfx0)())((ln''其中C为xoy平面第一卦限内的任一条闭曲线，已知,0)1(1'ff求xf。31已知,2/10f求xf使dyxfydxxfeABx与路径无关，并求A为（0，0）、B为（1，1）时的积分值。32设函数)(x二阶连续可导，且,000'，试求)(x的表达式，使微分方程0)(sin'dyxxydxx是一个全微分方程。33计算I=.222ydzdxzxdydzyzdxdyx，其中是球面2222azyx的外側。34计算I=)()()(222zdxdyxdzdyyzdydzxy，其中是曲面)21(,222zyxz的上側。35计算I=,2)()(22zdxdydzdxzxydydzyzx为221yxz的上側。36计算I=,4)1(2)18(2yzdxdydzdxydydzyx,其中为曲线)31(01yxyz绕y轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2。37判断或填空：（1）若nnba（Nn），且级数1nnb收敛，则级数1nna也收敛。（2）若级数1nna发散，则级数1||nna也一定发散。（3）级数的部分和ns有界，级数一定收敛。（4）一般项趋于零是级数发散的___________条件。（5）若级数1nna和级数1nnb发散，则1|)||(|nnnba一定发散。（6）若级数1nna收敛，级数1nnb发散，则1)(nnnba一定发散。（7）若级数1nna绝对收敛，则若级数1nna一定条件收敛。38判断级数的敛散性（1）159nnnn；(2）1311nnn(3）12sinnnn（4）13nnnnx(5)13!nnnnn39判断级数14nnk（k为自然数）和1sin)1(nnnx的敛散性。40将lnx展为)2(x的幂级数，并求其收敛域。41求幂级数12nnnnx的收敛域与和函数42将324)(2xxxf展为X的幂级数，并求其收敛域43求幂级数nxnnxx)1(!1)1(!23)1(212的收敛域与和函数。44求级数12)1()1(nnnnn的和45设级数12nna收敛，试证级数1nnna将收敛46设01()11xxfxx，它的正弦级数为1sinnnnxb，求等式1sin)(nnnxbxf成立的区间。47设)(xf是周期为2的函数，且在]1,1[上，110()101xfxx，将)(xf展为付氏级数。48试求2)(xxf在],[上的付氏级数并求出62的级数表达式49将||)(xxxf在]1,1[展为付氏级数，并作出和函数的图形50将1()sin,[0,]24fxxx展成余弦级数.