高数论文之多元函数的研究

高数论文之多元函数的研究多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念及它们之间因果关系.然后推广到多元函数，由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系，并对二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。一、函数连续一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)fxy来说，即使它在某点000(,)pxy既存在关于x的偏导数00(,)xfxy，又存在关于y的偏导数00(,)yfxy，(,)fxy也未必在000(,)pxy连续。甚至，在000(,)pxy的某邻域0()Up存在偏导数(,)xfxy（或(,)yfxy），而且(,)xfxy（或(,)yfxy）在点000(,)pxy连续，也不能保证(,)fxy在000(,)pxy连续.如函数(,)fxy21sin,00,0xyyy关于具体验算步骤不难得出。过，我们却有如下的定理。定理1[1]设函数(,)fxy在点000(,)pxy的某邻域0()Up内有定义，若0(,)fxy作为y的一元函数在点y=0y连续，(,)xfxy在0()Up内有界，则(,)fxy在点000(,)pxy连续。定理2[4]设函数(,)fxy在点000(,)pxy的某邻域0()Up有定义，(,)yfxy内有界，0(,)fxy作为x的一元函数在点0xx连续，则(,)fxy在点000(,)pxy连续。定理1和定理2可推广到更多元的情形中去。定理3[5]设函数12(,,,)nfxxx在点000012(,,,)npxxx的某邻域0()Up内，12(,,)ixnfxxx在0()Up有界0111(1,2,),(,,,,)iiininfxxxxx作为111,,,iinxxxx的n-1元函数在点0000111(,,,)iinxxxx连续，则12(,,,)nfxxx在点000012(,,,)npxxx连续。二、多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有：////0000(,)(,)xyyxfxyfxy此式成立的条件为：偏导数//xyf和//yxf在00(,)xy都连续。下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件。定理4[6]若函数(,)fxy在0p00(,)xy的某邻域内偏导数/xf，/yf及//yxf存在，且//yxf在0p对y连续，则偏导数//xyf在0p存在，且////0000(,)(,)xyyxfxyfxy三、多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断。知函数在点0p可微的必要条件是各个偏导数在0p处存在.如果函数(,)zfxy在0p处的全增量可表示为：z=Ax+By+()则常数A与B一定为A=xf(0p)B=yf(0P)且函数在0P处可微。[7]定理5[2]设n元函数()zfp在0p的某个邻域内有定义，且极限0limZ存在，记为(1)若0，则函数()zfp在0p处不可微；(2)若=0，则函数在0p处可微且00dzp，其中221()()nxx。我们以二元函数为例证明。定理6[3]若n+1元函数1(,,)nfxxy关于y的偏导数对n+1个变量连续，关于1,nxx可微（即把1,(,)nfxxy中的y看成常数后可微），则n+1元函数1,(,)nfxxy可微。推论若n(n≥2)元函数1(,,)nfxx的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则1(,,)nfxx可微。1、若函数在点P可微该函数在点P连续；若函数在点P可微该函数在P点处存在偏导数；若函数在点P可微该函数在点P处的一切方向导数都存在。2、若函数在P点处连续函数在点P处存在偏导数。3、若函数在P点处偏导数存在该函数在点P处的一切方向导数存在（仅有这种关系：函数在点P处偏导数/xf存在该函数在P处沿X轴方向的导数存在），函数在P处的一切方向导数存在该函数在P处偏导存在。4、函数在P处的一切方向导数都存在该函数在P处连续。5、函数在P处的一切方向导数都存在该函数在点P处可微。[11]多元函数在点P可微，那么函数在P点的偏导数必存在。即偏导数存在时可微的必要但不充分条件。而多元函数偏导数在点P连续是函数在该点可微分的充分条件，但不是必要条件。但是，多元函数在一点连续在该点其偏导数不一定存在，也不一定可微；多元函数在一点偏导数存在而在该点不一定连续；多元函数在一点可微在该点也不一定连续。[12]若n+1元函数1,(,)nfxxy关于y的偏导数对n+1个变量连续，关于111,,,iinxxxx可微（即把1,(,)nfxxy中的y看成常数后可微），则n+1元函数可微。因为函数的变量常常不止一个，可能多个，从而把自变量是一个的一元函数推广到自变量是多个的多元函数。在理论研究中，一元函数与多元函数在形式上有所不同，性质上在某些方面也略有不同，但从二元函数到三元函数或更多原函数并无实质性的差别。因此，我们重点研究二元函数，所得的结论可直接推广到多元函数上去，在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多，我们首先考虑多元函数对于其中一个自变量的变化率。一二元函数为例，如果只有自变量变化，儿自变量固定（即看作常数），这时它就是的一元函数，这个函数对求导，就称为二元函数对于的偏导数。同样，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些。在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题。现在有关多元函数连续性、偏导存在及可微性的关系的证明与研究中大多数都是由多元函数弱化成一元函数进行的，也有部分是以二元函数代替的。所以，研究多元函数连续性、偏导存在及可微性关系的课题具有重要的意义。2.理论及实际意义多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。总之，从基础的定义定理开始分析，到最后得出连续性、偏导存在及可微性的关系。