高数部分习题解答(第6章)

1第六章微分方程习题6.13．用微分方程表示下列命题.(1)曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数.(2)某大洲的人口总量Q(t)的增长速度与当时的人口总数成比例.解:(1)根据导数的几何意义,y=f(x)在点（x，y）处的切线的斜率可用导数y=f(x)来表示,由题目的条件知y=yx,这就是所求的微分方程.(2)人口总量Q(t)的增长速度可用导数Q(x)来表示,设题目所说的比例系数为k0，就得到所求的微分方程:Q(t)=kQ(t)或简写成Q=kQ.4.已知曲线族y=C1cos2x+C2sin2x，求其中满足条件y(0)=2，y(0)=0的曲线.解:对y=C1cos2x+C2sin2x求导得到y=2C1sin2x+2C2cos2x.把初始条件y(0)=2，y(0)=0分别代入这两个方程得:2=C1,0=2C2,即C1=2,C2=0.把它们代入曲线族方程得到y=2cos2x,这就是所求的曲线的方程.习题6.23．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q成正比，比例系数k=0.00433，求①在时刻t（以年为单位）镭的存量与时间t的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？解:设镭的存量与时间t的函数为Q=Q(t),那么衰变速度可用导数Q(x)来表示,根据题目条件得到微分方程:Q=0.00433Q,解这个方程得出镭的存量与时间t的函数为Q=Q0e0.00433t.假定经过T年后，镭的质量只剩下原始量的一半,即Q(T)=0.5Q0.代入Q(t)中得到0.5Q0=Q0e0.00433T,由此可求出T=00433.02ln160(年).4．在某种化学反应中，物质A转变成物质B的速度与物质A的瞬时存量的平方成正比.如果物质A的初始质量为60克，1小时后物质A的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A的瞬时存量.解:设物质A在时刻t的存量为y=y(t),那么由题目条件得到微分方程y(t)=k(y(t))2,或y=ky2,其中k是比例系数,且y(0)=60,y(1)=10.解这个方程得到通解y(t)=Ckt1,把t=0,y=60代入通解表达式,可求出C=1/60,即得出特解y(t)=6011kt=16060kt;2因为t=1时y=10,代入特解表达式,可求出k=1/12,从而物质A的存量函数为y=1560t.把t=2代入函数,求得y=12560=5.45(g).即2小时后物质A的瞬时存量为5.45g.5．假定有一笔钱s0存在银行，每个月可按2%的利率获取复利息.求得该款存入后任何时刻的资金（连本带利）是多少？解:设在时刻t的资金（连本带利）为s=s(t).那么由题目条件得到微分方程(初值问题):00|)(02.0)('sststst,求出通解为s=Ce0.02t.把t=0,s=s0代入求得C=s0.从而所求的解为s=s0e0.02t.即该款存入后任何时刻t的资金（连本带利）是s=s0e0.02t.6.用x(t)表示时刻t的销售量,设销售量的变化率x(t)与销售量x(t)及销售接近饱和水平的程度ax之乘积成正比（比例系数k=0.1）.假定x(0)=100,饱和水平a=1100，求销售函数x(t).解:由题目条件得到微分方程x(t)=0.1x(ax).求出通解为x=atcea1.01,其中c=00xxa.因为x0=x(0)=100,饱和水平a=1100，所以c=10,销售函数x(t)为x=te1101011100.7．（生物种群生长模型）在一个孤立小岛上红蚂蚁迅速繁殖,经一阶段增长后逐渐接近生长极限N.假定在时刻t0=0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一（m10为整数）,红蚂蚁量x(t)的增长率与x(t)本身和其接近生长极限的程度(Nx(t))之乘积成正比（比例系数k0）.求红蚂蚁量x(t)的函数表达式.又,假定生长极限N=100000单位,x0为N的五千分之一,10天后红蚂蚁量达到x0的10倍,问经过多少时间红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.解:由题目条件得到微分方程x(t)=kx(Nx).求出通解为x=kNtceN1,其中c=00xxN.因为在时刻t0=0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一,x0=N/m,c=m1.所以,红蚂蚁量x(t)的函数表达式为x=kNtemN)1(1.假定N=100000单位,x0为N的五千分之一,10天后红蚂蚁量达到x0的10倍,那么x0=20,m=5000,c=m1=4999,t=10,k=0.23106.因此函数x(t)为x=teN23.049991.假定经过T天红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.那么,30.6N=TeN23.049991,从中可求出T=38.739(天).习题6.33.求一曲线方程，它经过坐标原点并且在点(x，y)处的切线的斜率为2x(1y).解:设曲线方程为y=f(x),由题目的条件知y=2x(1y).解这个方程11ydy=2dx,ln|y1|=x2+C,得到方程的通解y1=C12xe.因为曲线经过坐标原点(0,0),把x=0,y=0代入通解表达式,得C1=1.因此,所求的曲线方程为y=12xe.4.一个物体从水池表面落下，所受的阻力与速度成正比，求下落速度v与时间t的函数关系.解:取坐标轴V方向朝下(地心),设下落速度v=v(t),那么t=0时速度v=v(0)=0.运动的加速度为v=v(t),物体受到重力mg和阻力kv的作用（其中k0是比例系数）,两个力的方向相反.根据牛顿第二定律得出如下微分方程:mg–kv=mv,或gvmkdtdv,这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:v=(∫[gtkedm]dt+C)tkedm=kmg+Ctmke.由于t=0时速度v=0,故可求出C=kmg,从而下落速度v=kmg(1tmke).5.设有一质量为m的机车在铁轨上由静止开始运动，它同时受到两个力的作用，一是与运动方向一致的牵引力的作用，大小与时间成正比（比例系数为k1），另一个是阻力，其大小与速度成正比（比例系数为k2）.求火车运动的速度与时间的关系.解:设火车运动的速度v=v(t),那么t=0时速度v=v(0)=0.那么牵引力为k1t,阻力为k2v.两个力的方向相反.根据牛顿第二定律得微分方程:k1t–k2v=mv,或mkvmkdtdv12t,这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:v=[∫(mtk1tkedm2)dt+C]tkedm2=mk1[∫ttmke2dt+C]tmke2=21kk(t2km)+Cmk1tmke2.4由于t=0时速度v=0,故可求出C=222km,从而火车运动的速度为v=21kkt221kmk(1tmke2).习题6.43．一质量为m的物体，在粘性液体中由静止自由下落.假设液体阻力与运动速度成正比，比例系数为k,试求物体下落的距离s与时间t的函数关系.解:设物体下落的距离为s=s(t),那么为运动速度v=s(t),那么t=0时s=s(0)=0,v=v(0)=0.运动的加速度为v=v(t)=s(t),物体受到重力mg和阻力kv的作用(其中k0是比例系数),两个力的方向相反.根据牛顿第二定律得微分方程:mg–ks=ms,或gdtdsmkdtsd22,这是一个可降阶的二阶线性方程.事实上,令v=s(t),就得到gvmkdtdv,这是一个一阶线性方程,根据公式求得通解:v=(∫[gtkedm]dt+C)tkedm=kmg+Ctmke.由于t=0时速度v=0,故可求出C=kmg,从而下落速度v=kmg(1tmke),或s(t)=kmg(1tmke).把最后的方程两边积分,求得通解:s(t)=kmg(t+kmtmke+C1)由初值条件s(0)=0得出C=km.从而得到距离s与时间t的函数关系s(t)=kmgt+22km(tmke1).习题6.51．判断下列函数组在其定义区间是否线性无关？(1)x，x2;(2)e–x，ex;(5)lnx，lnx2;(6)0，x，cosx.解:设常数C1,C2使的C1x+C2x20,x,.我们断定C1=C2=0.否则,若C10,当x0时,等式两边同除于x得C1C2x,x0.这时,若C2=0,则推出C1=C2=0,与假设矛盾;若C20,则推出C1不是常数,也与假设矛盾.因此C1=0.从而C2x20,x,,由此推出C2=0.因此x与x2线性无关.(2)e–x与ex线性无关.事实上,设常数C1,C2使的C1e–x+C2ex0,x,.我们断定5C1=C2=0.否则,若C10,等式两边同除于e–x得C1C2e2x,x0.这时,若C2=0,则推出C1=C2=0,与假设矛盾;若C20,则推出C1不是常数,也与假设矛盾.因此C1=0.从而C2ex0,x,,由此推出C2=0.因此x与x2线性无关.(5)由于lnx2=2lnx,x0,,可见lnx与lnx2线性相关.(6)由于选取C1=1,C2=C3=0时，有C10+C2x+C3cosx=10+0x+0cosx0,x,.所以0，x，cosx是线性相关的.习题6.62．求下列方程满足初始条件的特解(3)y+2y+y=0，y|x=0=2，y|x=0=0，y|x=0=1;(4)22dtsd+2dtds+s=0，s|t=0=4，s|t=0=2.解:(3)特征方程为r3r2+r=0，它有3个的实根:r1=0，r2,3=1.所以微分方程的通解为y=C1+C2ex+C3xex.由y|x=0=2得出C1+C2=2.因为y=C2ex+C3exC3xex,y=C2ex2C3ex+C3xex.由y|x=0=0，y|x=0=1得出C2+C3=0,C22C3=1.解这个方程组得C2=C3=1.从而C1=C2+2=1.所以满足初始条件的特解为y=1+ex+xex.(4)特征方程为r22r+1=0，它有两个相等的实根是r1,2=1.所以,微分方程的通解为s=C1et+C2tet.由此得出s=C1etC2tet+C2et.由s|t=0=4，s|t=0=2得出C1=4,C1+C2=2.解得C2=6.所以满足初始条件的特解为s=4et+6tet.习题6.72.确定下列方程的特解的形式(1)y+3y=2x4+x2e3x;(2)y+2y+2y=3ex+2excosx.解:(1)y+3y=0对应的特征方程为r2３r=0，它的根为r1=0,r2=3.由于r1=0,方程y+3y=2x4的特解具有形式y1*=x(a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4);由于r2=3,方程y+3y=x2e3x的特解具有形式y２*=x(b1x２+b2x+b3)e3x;因此y+3y=2x4+x2e3x的特解具有形式y*=x(b1x２+b2x+b3)e3x+x(a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4).(2)y+2y+2y=0对应的特征方程为r2２r＋２=0，它的根为r1=１＋i,r2=1i.由于1不是特征方程的根，所以y+2y+2y=3ex的特解具有形式y1*=a1ex.由于r1=１i是特征方程的根，所以y+2y+2y=2excosx的特解具有形式y２*=ex(b1xcosx+b2xsinx).因此y+2y+2y=3ex+2excosx的特解具有形式y*=a1ex＋ex(b1xcosx+b2xsinx)．3.求下列方程满足初始条件的特解(1)y2y+y=xex+4，y|x=0=1，y|x=0=1;(2)y+4y=x2+3ex，y|x=0=0，y|x=0=2;解：y