高三数学231《等比数列》练习(新人教B版必修5)

用心爱心专心等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．[]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a=(p1)p{a}p0p10(p1)p2nn1()()pppppn212但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n*n2Naann1【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q∴2＝1·q2n+1x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n=q2n(1+2n)2qnnn()212【例3】{a}(1)a=4an25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解(1)a=aqq=5252∴－12用心爱心专心∴＝＝－＝∵·＝··＝aaq4()()(2)aaaaaaa=8n2n2n2n43542345431212∴a4＝2又＝＝∴aaaaaaaaaa=a=322635423456452【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求证…＜．xxxabnn122证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1∴∴……＜qbaxxxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a、b、c、d成等比数列∴abbccd∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：b＝aq，c＝aq2，d=aq3用心爱心专心∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：转化为等比数列．解(1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1n＋＋＋∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n－＋－－∴{an+1－an}是等比数列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a=3[1222]=3=3(21)n2n-2n1＋＋＋…＋·－21211n说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．用心爱心专心证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(aa)x2a(aa)xaa=0(aa)a2a(aa)aaa=0a122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a(aa)]4(aa)(aa)=4(aaa)0(aaa)02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又∵a1、a2、a3为实数∴－≥必有－即(aaa)0aaa=0a=aa2213222132213因而a1、a2、a3成等比数列又∵a=2a42()()()aaaaaaaaaaaa1312222131213212∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22－＋＋①－＋＋②整理，得b=bdbdb=bd2b2d222222－＋＋－＋－∴b＋d=2b－2d即b=3d代入①，得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之，得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：用心爱心专心(1)求a1与d的值；(2)b16是不是{an}中的项？思路：运用通项公式列方程解(1)a=ba=b3d=ada9d=ada(1d)=3da(1d)=9d4410101131191319由＋＋－－－－add2=063＋－舍或∴ddadd1231331222()(2)∵b16=b1·d15=－32b1且＋·－－∴a=a3d=22=bb=bd=2b=22b=a=2413441313113∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则－32a1=a1＋(k－1)d∴(k－1)d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34项．【例10】{a}b=(12)bbb=218bbb=18nnan123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d∴·b=(12)bb=(12)(12)=(12)bna13aa+2d2(a+d)221111()nd1用心爱心专心由，解得，解得，代入已知条件整理得＋bbb=18b=18b=12bbb=18bb=14bb=1781232321231313bbb123218解这个方程组，得b=2b=18b=18b=21313，或，∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列即：2(aq＋4)=a＋aq2①a，aq＋4，aq2＋32成等比数列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)aq2=4a＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a=2q=3a=29q=5261829109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d由已知：三个数成等比数列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)8bd=162－①b－d，b，b＋d＋32成等比数列用心爱心专心即b2=(b－d)(b＋d＋32)32bd32d=02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b=269d=83b=10d=8261829109509解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比数列得：①a=aa2213a1，a2＋4，a3成等差数列得：2(a2＋4)=a1＋a3②a1，a2＋4，a3＋32成等比数列得：(a2＋4)2=a1(a3＋32)③①、②、③式联立，解得：或a=29a=109a=509a=2a=6a=18123123说明将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到aaqaq(aaq)2aq简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条用心爱心专心件可推得：()ada2方法二设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．方法三设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一adaad设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()ada2依题意，有－＋＋＋ad=16a(ad)=12()ada2解方程组得：或－a=4d=4a=9d=61122所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq依题意有：－＋＋2bbqbq=16bbq=122解方程组得：或b=4q=2b=9q=131122所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x，y，12－y，16－x．依题意有＋－·－－x(12y)=2yy(16x)=(12y)2解方程组得：或x=0y=4x=15y=91122这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126∴b=42这三个数可写成42－d，42，42＋d．再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得用心爱心专心a42d=85ap42=76aq42d=842＋－＋＋＋整理，得－①②＋③ad=43aq=34aqd=422解这个方程组，得a1=17或a2=68当a=17时，q=2，d=－26当时，，a=68q=12d=25从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．证明由已知，有2a2=a1＋a3①a=aa3224·②③211435aaa由③，得·由①，得代入②，得··a=2aaa+aa=a+a2a=a+a243535213321323535aaaa整理，得a=a(a+a)a+a351235即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)aaa=aaaaa=aa323515353215＋＋∴·所以a1、a3、a5成等比数列．用心爱心专心【例15】已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，