高三数学第一轮复习函数拔高复习

用心爱心专心高三数学第一轮复习函数拔高复习复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。主要内容：（一）基本问题1.定义域2.对应法则3.值域4.图象问题5.单调性6.奇偶性（对称性）7.周期性8.反函数9.函数值比大小10.分段函数11.函数方程及不等式（二）基本问题中的易错点及基本方法1．集合与映射1认清集合中的代表元素2有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。2．关于定义域1复合函数的定义域，限制条件要找全。2应用问题实际意义。3求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。4方程，不等式问题先确定定义域。3．关于对应法则注：1分段函数，不同区间上对应法则不同2联系函数性质求解析式4．值域问题基本方法：1化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。2均值不等式：——形如和，积，及xbaxxf)(形式。注意识别及应用条件。3几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。易错点：1考察定义域2均值不等式使用条件5．函数的奇偶性，单调性，周期性。关注问题：1判定时，先考察定义域。2用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。3求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。4由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。5“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。6．比大小问题基本方法：1粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。2搭桥3结合单调性，数形结合4比差、比商5利用函数图象的凸凹性。7．函数的图象1基本函数图象2图象变换①平移②对称（取绝对值）③放缩易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：I取绝对值（对称）与平移例：由xy图象，经过如何变换可得下列函数图象？11||xy2|1|xy用心爱心专心分析：1.1||||11xyxxxyxxxy对称平移2.|1|1||||xyxxxyxxxy对称评述：要由xy得到1||xy只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。II平移与关于y=x对称变换例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？分析：①)3x(f)3x(fy)x(fy)x,y()y,x(3xx对称平移的反函数。②).3(13)(1),(),()(xfxxxfyxyyxxfy平移对称∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）（三）本周例题：例1．判断函数xxtgtgxxfsin)21()(的奇偶性及周期性。分析：1定义域：)(22222Zkkxkxkxkx∴f(x)定义域关于原点对称，如图：又tgxxxxtgxxfsin)sincos11()(∴f(-x)=-f(x),∴f(x)周期的奇函数。评述：研究性质时关注定义域。例2．1设f(x)定义在R上的偶函数，且)(1)3(xfxf，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。2已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解：1∵)(1)3(xfxf∴)()3(1)6(xfxfxf，∴f(x)周期T=6，∴f(113.5)=f(619-0.5)=f(-0.5).当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).∵x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.∴f(x+3)=-2(x+3).∴)3(21)3(1)(xxfxf,用心爱心专心∴51)321(21)21(f.2（法1）（从解析式入手）∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1),∵T=2.∵f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.∴f(x)=3-x,x∈(1,2).小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。（法2）（图象）f(x)=f(x+2)如图：x∈(0,1),f(x)=x+1.x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.注：从图象入手也可解决，且较直观。例3．1若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。2已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。分析：1设y1=(x-1)2,y2=logaxx∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：∴a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].小结：①数形结合②变化的观点③注意边界点，a=2，x取不到2，∴仍成立。2∵f(t)=f(-4-t),∴f(-2+t)=f(-2-t)∴f(x)图象关于x=-2对称，∴a=4,∴f(x)=x2+4x+5.∴f(x)=(x+2)2+1,动区间：[m,0],∵x∈[m,0],[f(x)]max=5,[f(x)]min=1,∴m∈[-4,0].小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。例4．已知函数).10(,55log)(aaxxxfa且(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。分析：(I)任取x1x2-5,则：)5)(5()5)(5(log55log55log)()(2121221121xxxxxxxxxfxfaaa,∵(x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)0又(x1-5)(x2+5)0且(x1+5)(x2-5)01)5)(5()5)(5(02121xxxx,∴当a1时，f(x1)-f(x2)0,∴f(x)单调递增，当0a1时，f(x1)-f(x2)0,∴f(x)单调递减。(II)若f(x)=g(x)有实根，即：)3(log155logxxxaa。用心爱心专心∴.503055xxxx∴即方程：)3(55xaxx有大于5的实根。（法1）)105)(25()5()5)(3(5xxxxxxa（∵x5）165320212112)5(20)5(120)5(12)5(52xxxxx∴]1653,0(a.（法2）（实根分布）)3(55xaxx(1)有大于5的实根，方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.∵a0,∴Δ=64a2-24a+1≥0.①有一根大于50)5(5f.②两根均大于]1653,0(52210)5(0aaaf.小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。小结：函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。练习：已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有0)()(nmnfmf。1用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。2若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：(2)|t|≥2或t=0.