高三数学第一轮复习课时作业(35)基本不等式

课时作业(三十五)第35讲基本不等式时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·广东中山下列结论正确的是()A．当x0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x≥2时，x＋1x的最小值为2C．当x0时，x＋1x≥2D．当0x≤2时，x－1x无最大值．2．2011·安徽百校论坛联考已知a0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定3．2011·江西重点中学二模对于使f(x)≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界．若a0，b0且a＋b＝1，则－12a－2b的上确界为()A.92B．－92C.14D．－44．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n10＋4.9(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天能力提升5．2011·惠州三调若直线ax＋by＋1＝0(a、b0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则1a＋4b的最小值为()A．8B．12C．16D．206．2011·青岛一模若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab12B.1a＋1b≤1C.ab≥2D．a2＋b2≥87．若a，b，c0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为()A.3－1B.3＋1C．23＋2D．23－28．若实数a，b，c满足a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，则ab＋c2的最大值为()A．1B．2C．3D．49．2010·四川卷设abc0，则2a2＋1ab＋1a(a－b)－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．25D．510．2011·吉林一中冲刺函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则1m＋1n的最小值为________．11．2011·东北三校一模设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________________________________________________________________________．12．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax＋a2－a＋14＝0的两个实根，那么x1x2x1＋x2的最小值为________，最大值为________．13．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则2ab|a|＋2|b|的最大值为________．14．(10分)2011·烟台一调某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．15．(13分)已知a，b为正数，求证：(1)若a＋1b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax＋xx－1b成立；(2)若对于任何大于1的正数x，恒有ax＋xx－1b成立，则a＋1b.难点突破16．(12分)已知a，b，c0，证明：a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b≥a＋b＋c2.课时作业(三十五)【基础热身】1．C解析选项A中不能保证lgx0；选项B中最小值为2时x＝1；选项D中的函数在(0,2上单调递增，有最大值；只有选项C中的结论正确．2．C解析依题意得A＝a＋b2，G＝ab，故AG＝a＋b2·ab≥ab·ab＝ab.3．B解析－12a－2b＝－(a＋b)12a＋2b＝－12＋2＋b2a＋2ab≤－12＋2＋2＝－92.4．B解析设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为32000＋5＋n10＋4.9n2n＝32000n＋n20＋4.95，当且仅当32000n＝n20时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．【能力提升】5．C解析由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而1a＋4b＝1a＋4b(4a＋b)＝8＋ba＋16ab≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．6．D解析根据基本不等式4＝a＋b≥2ab，即ab≤2，且ab≤4，所以1ab≥14，所以选项A、C中的不等式不是恒成立的，1a＋1b≥2ab≥1，故选项B中的不等式不是恒成立的，a2＋b2≥(a＋b)22＝8.7．D解析(2a＋b＋c)2＝4a2＋b2＋c2＋4ab＋4ac＋2bc≥4a2＋2bc＋4ab＋4ac＋2bc＝4a(a＋b＋c)＋bc，由于a，b，c0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，所以2a＋b＋c≥24－23＝23－2，选D.8．B解析(ab＋c2)2＝a2b2＋2abc2＋c4≤a2b2＋(a2＋b2)·c2＋c4＝4，所以ab＋c2≤2，等号当且仅当a＝b时成立，此时a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，即a4＋2a2c2＋c4＝4，即a2＋c2＝2，其中a＝b＝c＝1就是满足其取得最小值时的一组实数值．9．B解析原式＝a2＋a2＋ab－ab＋1ab＋1a(a－b)－10ac＋25c2＝a(a－b)＋1a(a－b)＋ab＋1ab＋(a2－10ac＋25c2)≥2a(a－b)×1a(a－b)＋2ab×1ab＋(a－5c)2＝4＋(a－5c)2≥4＋0＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1，a＝5c，即a＝2，b＝22，c＝25时，等号成立．10．4解析函数y＝a1－x的图像过点(1,1)，故m＋n＝1，所以1m＋1n＝(m＋n)1m＋1n＝2＋nm＋mn≥4，故1m＋1n的最小值是4.11．8解析四面体ABCD在点A处的三条侧棱两两垂直，这个四面体与以AB，AC，AD为棱长的长方体具有相同的外接球．设AB＝x，AC＝y，AD＝z，则x2＋y2＋z2＝16.S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＝12(xy＋yz＋zx)≤12(x2＋y2＋z2)＝8.12．014解析首先Δ＝a2－4a2－a＋14＝－3a2＋4a－1≥0，即3a2－4a＋1≤0，解得13≤a≤1.根据韦达定理知x1x2x1＋x2＝a2－a＋14a＝a＋14a－1.根据基本不等式a＋14a≥1，等号当且仅当a＝12时成立，故x1x2x1＋x2的最小值是1－1＝0；根据函数f(a)＝a＋14a的单调性可知函数的最大值为maxf13，f(1)＝max1312，54＝54，故x1x2x1＋x2的最大值是14.故x1x2x1＋x2的最小值是0，最大值是14.13.24解析a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2⇒a2＋4b2＝1.∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴2ab|a|＋2|b|＝2ab1＋4|ab|，这个式子只有当ab0时取得最大值，当ab0时，∴2ab1＋4|ab|＝2ab1＋4ab＝21ab2＋4ab＝21ab＋22－4，由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1，即1ab≥4，故当1ab＝4时，2ab|a|＋2|b|取最大值232＝24.14．解答(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意f(x)＝36x·4＋k·20x.由x＝4时，y＝52得k＝1680＝15，∴f(x)＝144x＋4x(0x≤36，x∈N*)．(2)由(1)知f(x)＝144x＋4x(0x≤36，x∈N*)，∴f(x)≥2144x×4x＝48(元)，当且仅当144x＝4x，即x＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．15．解答证明：(1)ax＋xx－1＝a(x－1)＋1x－1＋1＋a≥2a＋1＋a＝(a＋1)2b.(2)∵对于任何大于1的正数x，恒有ax＋xx－1b成立，即x1时，ax＋xx－1minb，由(1)ax＋xx－1＝a(x－1)＋1x－1＋1＋a≥2a＋1＋a＝(a＋1)2，∴(a＋1)2b，故a＋1b.【难点突破】16．解答证明：直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式．观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上a＋b＋c2，即我们证明不等式a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b＋a＋b＋c2≥a＋b＋c，这时把a＋b＋c2拆成a＋b4＋b＋c4＋c＋a4，就可以构造轮换不等式了.a2b＋c＋b＋c4≥a，b2c＋a＋c＋a4≥b，c2a＋b＋a＋b4≥c，三式相加即得所证不等式．