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当前位置:首页 > 临时分类 > 高三数学第十章圆锥曲线复习学案(学生版)
第十章圆锥曲线85第十章圆锥曲线第1节椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式:1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题,一般难度较大.【知识梳理】圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a|F1F2|)|PF|=|PM|点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2=2px(p0)图形几何性质范围|x|≤a,|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0),(0,±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2,0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e=ca=1-b2a2(0e1)e=ca=1+b2a2(e1)e=1准线x=-p2渐近线y=±bax第十章圆锥曲线86【典型题型解析】考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆x22+y2m=1和双曲线y23-x2=1的公共焦点分别为F1、F2,P为这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值等于________.(2)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=________.(1)(2012·山东)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.x28+y22=1B.x212+y26=1C.x216+y24=1D.x220+y25=1(2)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013·辽宁)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为________.(1)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF→=2FD→,则C的离心率为________.第十章圆锥曲线87(2)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=a24的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________.考点三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,点M为椭圆的上顶点,且满足MF→·FB→=2-1.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(2013·北京)已知A,B,C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础.2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A、B是不等的常数,AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB0时表示双曲线.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出a,c,计算e=ca;方法二:根据已知条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求ca.4.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为2b2a,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.5.抛物线焦点弦性质:已知AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2).第十章圆锥曲线88(1)y1y2=-p2,x1x2=p24;(2)|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角);(3)S△AOB=p22sinα;(4)1|FA|+1|FB|为定值2p;(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【当堂达标】1.已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+∞)B.(1,2)C.(1,1+2)D.(2,1+2)2.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能【点击高考】一、选择题1.(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x2.与椭圆x212+y216=1共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是()A.y2-x23=1B.y23-x2=1C.3x24-3y28=1D.3y24-3x28=13.(2013·江西)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于()A.2∶5B.1∶2C.1∶5D.1∶3第十章圆锥曲线894.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F,作圆x2+y2=a2的切线FM交y轴于点P,切圆于点M,2OM→=OF→+OP→,则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.55.(2013·山东)抛物线C1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线C2:x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于()A.316B.38C.233D.4336.椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任一点,且PF→1·PF→2的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=a2-b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.[14,12]B.[12,22]C.(22,1)D.[12,1)二、填空题7.(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为________.8.(2013·福建)椭圆Г:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.9.(2013·辽宁)已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.10.已知P为椭圆x225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________.三、解答题11.(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.第十章圆锥曲线9012.(2013·江西)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P1,32,离心率e=12,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.13.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12,其一个顶点的抛物线x2=-43y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标;(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,且满足PA→·PB→=PM→2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.第十章圆锥曲线91第2节圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中.【知识梳理】1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法:将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ0,则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法:将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).①若a≠0,当Δ0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ0时,直线与双曲线相离.②若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法:将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).①当a≠0时,用Δ判定,方法同上.②当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=1+k2|x2-x1|或|P1P2|=1+1k2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:|x2-x1|=x1+x22-4x1x2,|y2-y1|=y1+y22-4y1y2.(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.第十章圆锥曲线92【典型题型解析】考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,右焦点(22
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