高三数学等比数列与数列求和综合题

高三数学等比数列与数列求和综合题1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则的值为（C）A．﹣2或﹣1B．1或2C．±2或﹣1D．±1或22．已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz的值为（C）A．﹣4B．±4C．﹣8D．±83.设等比数列{an}的前n项积Pn=a1•a2•a3•…•an，若P12=32P7，则a10等于（）A．16B．8C．4D．2由题意，∵P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，∴a8•a9•…•a12=32，∴（a10）5=32，∴a10=2．4.设数列{an}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，Sn是它的前n项的和，对任意的n∈N*，点（an，）在直线（B）上．A．qx+my﹣q=0B．qx﹣my+m=0C．mx+qy﹣q=0D．qx+my+m=0解：∵数列{an}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，∴an=mqn﹣1，Sn=，∴=1+qn，∴q•=mqn﹣1﹣m（1+qn）+m=0，∴点（an，）在直线qx﹣my+m=0上．5.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a3、a5、a6成等差数列，则=（D）A．B．C．D．6．已知正项等比数列{an}满足a2014＝a2013＋2a2012，且nmaa＝4a1，则6(1m＋1n)的最小值为()A.23B．2C．4D．67.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，则=（C）A．4n﹣1B．4n﹣1C．2n﹣1D．2n﹣1解：设等比数列{an}的公比为q，∴q==，∴a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+）=，解得a1=2，∴an=2×=，Sn=，∴==2n﹣18.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（A）A．﹣5B．C．5D．解：∵log3an+1=log3an+1∴an+1=3an∴数列{an}是以3为公比的等比数列，∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9∴a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=9×33=359.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（C）A．27B．81C．243D．729解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=24310.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于（D）A．78B．84C．124D．12611．现有数列na满足：11a，且对任意的m，n∈N*都有：mnmnaaamn，则12320141111aaaa（）A.20142015B.20121007C.20132014D.4028201512．已知函数2()cos()fnnn，且()(1)nafnfn，则123100aaaa（B）A．0B．100C．100D．1020013．已知数列{}na的通项公式是221sin()2nnan,1232014aaaa则()A．201320132B．20131007C．20141007D．20151007化简可得：2221sin()sin()22nnannn，当n=2k-1时，221(21)kak，当n=2k时，222(2)4kakk，∴22212(21)441kkaakkk，所以1232014123220132014()()()(411)(421)+(410071)aaaaaaaaaa…1+1007=41007-1007=100720152．14．正项等比数列na满足142aa，133S，nnab3log，则数列nb的前10项和是。15．已知数列na是等比数列，其前n项和为nS.若1020S，2060S，则3010SS=.【答案】716．设121121,,,32ooaaaaaa成等比数列,且记1210Xaaa，1210111Yaaa，则XY217．化简111112123123n的结果是。221nn18．已知数列}{na满足)2,(*112nNnaaannn，若4,111164654aaaaa，则654aaa_____．【答案】419．设43,)1(112161211nnnSSnnS且，则n的值为【答案】620．若数列na的前n项和nnSn22，若nnanb)12(2，记数列}{nb的前n项和为nT，则使109nT成立的最小正整数n的值为【答案】521.已知等比数列{an}中，a5+2a4=a2a4，前2m（m∈N*）项和是前2m项中所有偶数项和的倍．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）已知{bn}满足bn=（n﹣λ）an（n∈N*），若{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）设公比为q，则∵前2m（m∈N*）项和是前2m项中所有偶数项和的倍，∴=，∴q=2，∵等比数列{an}中，a5+2a4=a2a4，∴a1q4+2a1q3=a1q•a1q3，∴a1=2，∴an=2n；（Ⅱ）bn=（n﹣λ）2n，则=＞1，∴λ＜n，∴λ≤1．22.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=，S6=，bn=λan﹣n2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）∵S3=，S6=，∴q≠1，∴=，=，得：1+q3=，∴q=﹣，a1=2．∴an=2×．（Ⅱ）∵bn=λan﹣n2，∴bn=2λ﹣n2，由题意可知对任意n∈N*，数列{bn}单调递减，∴bn+1＜bn，即2λ﹣（n+1）2＜=2λ﹣n2，即6λ＜2n+1对任意n∈N*恒成立，当n是奇数时，λ＞﹣，当n=1时，﹣取得最大值﹣1，故λ＞﹣1；当n是偶数时，λ＜，当n=2时，取得最小值，故λ＜．综上可知，﹣1＜λ＜，即实数λ的取值范围是（﹣1，）．23.已知等比数列{an}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{bn}是等差数列，bn=，c≠0是常数．（1）求c的值，数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足：c1=1，cn﹣cn﹣1=an﹣1（n≥2），求数列{cn}的通项公式及使得cn﹣2bn≥0成立的n的取值范围．解：（1）∵数列{bn}是等差数列，且bn=，∴bn==n+t，则n2+n=n2+（t+c）n+tc，即t+c=1，且tc=0，又c≠0，∴t=0，则c=1．∴bn=n．设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a1+a2=3，a3=4，得：，解得．∴；（2）∵cn﹣cn﹣1=an﹣1（n≥2），∴（n≥2），则…（n≥2）．累加得：=．又c1=1，∴（n≥2）．当n=1时满足，∴．由cn﹣2bn≥0，得2n﹣1﹣2n≥0，令f（n）=2n﹣1﹣2n，则f（n+1）﹣f（n）=2n﹣2（n+1）﹣2n﹣1+2n=2n﹣1﹣2，当n≥2时f（n）单调递增．又f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）=0．∴n≥4．故使得cn﹣2bn≥0成立的n的取值范围是[4，+∞）．24.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵bn=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）•（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．25.已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5=35，又a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵a1+1，a3+1，a7+1成等比数列∴∴整理可得，a1+1=2d①∵s5=5a1+10d=35②联立①②可得，a1=3，d=2∴an=3+2（n﹣1）=2n+1（2）由（1）可得，sn==n（n+2）∴=∴==×∵∴=整理可得，m=∴存在常数m=，使成立26．设各项为正数的数列na的前n和为nS,且nS满足:NnnnSnnSnn,0)(3)3(222.等比数列nb满足：021log2nnab.（Ⅰ）求数列na,nb的通项公式;（Ⅱ）设nnnbac，求数列nc的前n项的和nT；（Ⅲ）证明:对一切正整数n,有31)1(1)1(1)1(12211nnaaaaaa当1n时，,06121SS即02311SS，又01S，21S，即21a当2n时，032nnSSnn，又0nS，nnSn2当2n时，nSSannn21又1221anan2由021log2nnab，得nnb21121nnnnnbac1221021211213212211nnnnnT（1）nnnnnT21211213212211211321（2）)2()1(得nnnnT)21()21()21()21(121121nnn)21(211)21(1)2()21(41nTnn.............................................9分（Ⅲ）当Nk时)43)(41(1632222kkkkkk]41)1(1411[41)43)(41(141)21(141)12(21)1(1kkkkkkkkaakk1122111(1)(1)(1)nnaaaaaa1111111[()()()]111111412231444444nn111111()11434331144nn...