高三文科数学一轮复习之立体几何

1数学讲义之立体几何【主干内容】点、直线、平面、空间几何体三个公理、三个推论平面的基本性质平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线的定义异面直线的判定直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质概念、判定与性质垂直斜交直线在平面的射影及三垂线定理空间直线与平面空间两个平面柱、锥、台、球的结构特征两个平面平行两个平面相交两个平面平行的定义两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质两个平面垂直的定义构成几何体的基本元素直线、平面间平行与垂直的直观认识直观图和三视图的画法柱、锥、台、球的表面积和体积平行投影与中心投影正多面体空间的角、距离异面直线所成的角、距离直线与平面所成的角、距离两个平面所成的角、距离点、直线、平面的位置关系空间几何体2【题型分类】题型一：点、直线、平面的位置关系〖例1〗（2011四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解：B.对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.〖例2〗（2011宁波二模）已知a，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对异面直线，则a⊥b的一个充分条件是()A．a∥α，b⊥βB．a∥α，b∥βC．a⊥α，b∥βD．a⊥α，b⊥β解：〖例3〗（2011浙江）若直线l不平行于平面a，且la，则A．a内存在直线与异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交解：B〖例4〗（2011杭二模）设,,abc是三条不同的直线，,是两个不同的平面，则ab的一个充分条件为（）A．,acbcB．,,abC．,//abD．,ab解：C题型二：空间几何体〖例1〗（2011浙江卷）若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是()3图1－1解：B.由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.〖例2〗（2010浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是A．33523cmB．33203cmC．32243cmD．31603cm〖例3〗如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的②③（要求：把可能的图的序号都．填上）.〖例4〗(2011北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是4A．32B．16＋162C．48D．16＋322解：B.由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为4×4＋4×12×4×22＝16＋162，故选B.〖例5〗(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为()图1－1A．48B．32＋817C．48＋817D．80解：C.由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.〖例6〗(2011杭二模)如图，已知等腰ABC的底边3BC，顶角为120，D是BC边上一点，且1BD.把ADC沿AD折起，使得平面CAD平面ABD，连接BC形成三棱锥CABD．(Ⅰ)①求证：AC⊥平面ABD；②求三棱锥C-ABD的体积；(Ⅱ)求AC与平面BCD所成的角的正弦值.解：(Ⅰ)①由已知得，30BC，3ABAC．在△ABD中，由BD=1，得AD=13213cos30=1,在△ACD中，∵AC2+AD2=4=CD2,∴AC⊥AD.平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD.②∵AC⊥平面ABD，∴VC-ABD=13ABDSAC=111(31sin30)3324.(Ⅱ)由1BD，得CD=2，在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=32.（第20题）5在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，∵AH平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角.在RtACE中，得152CE，ACAEAHCE=155，∴5sin5ACH，即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为55．〖例7〗(2011浙江)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知8BC，4PO，3AO，2OD.求二面角BAPC的大小.【好题速递】1.(2011湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．9π＋42B．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18，故选D.2.(2011全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为()图1－2图1－3【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.（第20题）63.(2011天津)一个几何体的三视图如图1－4所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1－4【解析】根据三视图还原成直观图，可以看出其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4.4.(2011陕西)如图1－8，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．图1－8【解答】(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB∩DC＝D.∴AD⊥平面BDC.∵平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，DB＝DA＝DC＝1.∴AB＝BC＝CA＝2.从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12.S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.∴表面积S＝12×3＋32＝3＋32.