高等代数教案-1.4最大公因式

第一章多项式理论课题§1.4最大公因式授课时间授课时数2学时教学目的及要求1.使学生牢固掌握最大公因式的定义与基本性质,以及最大公因式的求取方法;2.使学生牢固掌握多项式互素的定义和基本性质;教学重点1.最大公因数的定义与求取方法—辗转相除法;2.多项式互素的定义与基本性质.难点1.利用辗转相除法求多项式的最大公因式;2.对多项式互素基本性质的理解与运用.教学方法讲授法教学的主要内容和过程注记因为对任意多项式fx和任意零次多项式c都有1fxccfx(1)所以可以说任意零次多项式都是任意多项式的因式,从而任意两个多项式都以零次多项式为它们的公共的因式,并且这些公共因式的数量有很多.定义1设F是一个数域,,,fxgxhxFx,若|hxfx且|hxgx,则称hx为fx与gx的一个公因式.注1由(1)式,任意两个多项式都存在最大公因式并且不唯一.例1设21fxx,21gxx,1hxx,则hx是fx和gx的一个公因式.例2如果多项式hx是fx和gx的一个公因式,则对任意零次多项式c,chx也是fx和gx的一个公因式.下面给出最大公因式的定义:教学的主要内容和过程注记定义2设F是一个数域,,,fxgxdxFx,如果dx是fx和gx的一个公因式,并且fx和gx的所有公因式均整除dx,则称dx是fx和gx的一个最大公因式.定理1.4.1设dx是fx和gx的最大公因式,则1dx是fx和gx的最大公因式当且仅当1dxcdx,其中常数0c.注2定理1.4.1揭示了如下两个事实:第一,fx和gx的最大公因式如果存在,就不是唯一的,即若dx是fx和gx的最大公因式,则cdx也是;第二,虽然fx和gx的最大公因式不唯一,但他们可以相互整除,因而只差一个非零常数倍.下面讨论最大公因式的存在性.显然,如果fx和gx二者当中有一个是零多项式,那么另一个就是最大公因式;特别地,两个零多项式的最大公因式是零多项式.一般地,我们有如下一系列结论:定理1.4.2如果有等式fxgxqxrx(2)成立,那么,fxgx与,gxrx有相同的公因式.定理1.4.3数域F上任意两个多项式,fxgx都存在最大公因式dx,并且存在多项式,uxvx使得dxfxuxgxvx(3)成立.注3定理1.4.3的证明过程给出了求最大公因式的方法,通常称之为辗转相除法.注4如果1dx是,fxgx的最大公因式,c是1dx首项系数,则11dxcdx是,fxgx的首项系数为1的最大公因式,并且是唯一的.我们通常把这个最大公因式用,fxgx表示.例3设543268fxxxxx,432246gxxxxx,求,fxgx的最大公因式,fxgx.定理1.4.4如果dx是fx和gx的一个公因式,且(3)式成立,则dx一定是fx和gx的一个最大公因式.综合定理1.4.3和定理1.4.4可得:推论1.4.5多项式,fxgx的公因式dx是最大公因式当且仅当存在多项式,uxvx使得dxfxuxgxvx.关于多项式的最大公因式有一种特殊情况,就是,fxgx的最大公因式是零次多项式的情形,下面就来具体讨论之:定理1.4.3的证明要详细讲解!教学的主要内容和过程注记定义3如果多项式,fxgx的最大公因式是零次多项式,则称fx与gx互素.注5由于首项系数为1的零次多项式是1,所以fx与gx互素,1fxgx.定理1.4.6多项式fx与gx互素当且仅当存在多项式,uxvx使得1fxuxgxvx.(4)多项式互素的基本性质:定理1.4.7若,1fxgx且,1fxhx,则,1fxgxhx.定理1.4.8若|fxgxhx且,1fxgx,则|fxhx.定理1.4.9若|fxhx,|gxhx且,1fxgx,则|fxgxhx.以上我们仅对两个多项式,fxgx讨论了最大公因式及互素等有关概念和性质,实际上对任意有限多个多项式12,,,2mfxfxfxm都可以讨论最大公因式及互素问题.定义4设12,,,,mfxfxfxdxFx,如果dx是1,,mfxfx的公因式,并且1,,mfxfx的任一公因式都是dx的因式,则称dx是多项式1,,mfxfx的一个最大公因式.用12,,,mfxfxfx表示首项系数为1的最大公因式,如果12,,,1mfxfxfx,则称1,,mfxfx是互素的.定理1.4.10121,,,mmfxfxfxfx就是12,,,mfxfxfx的首项系数为1的最大公因式,即12,,,mfxfxfx121,,,mmfxfxfxfx.以上关于两个多项式所得的结论,都可推广为2mm个多项式的情形.注62mm个多项式互素时,不一定两两互素.例如232fxxx,256gxxx,24hxxx是互素的,但,21fxgxx.但是2mm个多项式中只要其中两个互素,则它们一定互素.注一个需要特别强调的问题是:多项式的互素与系数域的选取无关.例4设,fxgxFx,则下列结论相互等价:(1),1fxgx;(2),1fxfxgx;(3),1gxfxgx;;(4),1fxgxfxgx.例5设32332fxxxx,38gxx,256hxxx,求最大公因式.证明不可忽略!作业P29第1题(2),第4题(1)参考文献1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.3.北京大学几何与代数教研室代数小组,《高等代数》（第二版）,高等教育出版社,1988年.4张贤科，汗浦华，《高等代数》（第二版），清华大学出版社，2004年.教学后记本节内容相对而言比较抽象且为本章的重点和难点之一,学生理解上有一定的困难,所以讲授时应尽量掌握好节奏,并对例题重点处理,以求达到最理想的教学效果..