高等代数期中考试试题

高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。1.设是上的线性变换，,则下的矩阵为2.设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4.已知矩阵，则A的特征值为-1,5对应的特征向量分别为，，；，，.5.已知矩阵可对角化，则k=.6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式=.7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为，.8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，.1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。1.设是上的线性变换，,则下的矩阵为2.设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4.已知矩阵，则A的特征值为-1,5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5.已知矩阵可对角化，则k=1.6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式=100.7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为，.8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.解：由题意可知，设含的最小不变子空间.为W，则，因为W是-不变子空间，则，由可知，即，所以，由，可知，即，而所以。，再由的最小性可知，因此，证毕。三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n证明：见书中定理。四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。解所以A的不变因子为，。A的初等因子为，。所以矩阵A的Jordan标准形为：。A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以是A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，.1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.证明：1）0，，即，，，，，所以为的子空间。3）设在下的矩阵为B，则AB=BA。=所以=即，，，，，，即======0，即=，所以的一组基为，，，其中，，的维数是3。六．(10分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。