高等代数线性方程组练习题

1第三章线性方程组练习题一、填空题1.如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则增广矩阵的秩取值可能为__________.2.非齐次线性方程组1212222nnxxxaxxxb有解的充要条件是__________.3.齐次线性方程组12340xxxx的基础解系是____________________.4.若矩阵A中有一个r级子式不为零，则()RA__________.5.已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k线性相关，则参数k__________.6.齐次线性方程组111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（*）只有零解的充要条件有_______________________________________________________（至少写两个）.7.非齐次线性方程组AZb（A为mn矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。8.1n个n维向量，组成的向量组为线性____________向量组。9.设向量组321,,线性无关，则常数,lm满足____________时，向量组312312,,ml线性无关。10.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且()1rAn则0Ax的通解为________。11.若向量组321,,线性无关，则向量组312312,,____________。12.已知四元非齐次线性方程组,()3AxbrA，321,,是它的三个解向量，其中TT)3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221，则齐次线性方程组0Ax的通解为____________-________________________。13.设向量组321,,由向量组321,,的线性表示式为321332123211，则向量组321,,由向量组321,,的线性表示式为____________。14.线性方程组bAX无解，且,3)(Ar则)(bAr.____215当________,ba时，A4813221ba的秩为.2二、判断题1.向量组12,,,n线性相关且11220nnkkk，则12,,,nkkk不全为零.（）2.如果12(,,,),1,2,,iiiinaaais线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),iiiiniiimaaabbb1,2,,is也线性相关.（）3.任意3n个n维向量必线性相关.()4.若向量12,,,s和向量组12,,,t都线性无关，则向量组1212,,,,,,,st线性无关.（）5.若向量12,,,s线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（）6.非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解.（）7.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（）8.设12,线性相关，12,也线性相关，则1122,线性相关.（）三、单项选择题1.已知向量组12,,,n线性相关，则下列命题中成立的是（）。A.12,,,n中至少含有一个零向量；B.对任意一组不全为零的常数12,,,nkkk，有11220nnkkk；C.12,,,n中任意一个向量均可由其余1m个向量线性表示；D.秩（12,,,n）m。2．方程组002121xxxx有非零解，则的取值为()。A.0B.±1C.2D.任意实数3．下列向量组中是线性无关向量组的为（）。A.(1,2),(--3,0),(5,1)B.(1,1,0),(0,0,3),(2,2,0)C.(2,6,0),(3,9,0),(0,0,2)D.(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)4.齐次线性方程组为000313221xxxxxx，它的一个基础解系是（）。3A.011,222B.110,444C.111D.1015．，方程组)4)(3()2)(1(2242332321kkxkkxxxxx无解，则当k的取值为（）。A.2B.3C.4D.56．设向量组123,,中是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，则下列向量组中也是0Ax的一个基础解系的是（）。A.122331,,B.1223123,,2C.112122,,D.12123,,7.A为mn矩阵，秩(A)=mn，下列结论正确的是（）。A.齐次线性方程组0Ax只有零解B.非齐次线性方程组Axb有无穷多解C)C.A中任一个m阶子式均不等于零D.A中任意m个列向量必线性无关。8.123,,是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，则也是该方程组的一个基础解系的是（）。A.可由123,,线性表示的向量组；B.与123,,等秩的向量组C.112123,,D.122331,,9.12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同解，是齐次线性方程组0AX的一个非零解，则（）。A.向量组121,线性无关B.向量组12,线性相关C.Axb的通解为1k，其中k为任意数D.Axb的通解为112()st,其中,st为任意数10.A为mn矩阵，秩(A)=r，则下列结论中正确的是（）。A.rn时，Axb有唯一解；B.mn时，Axb有唯一解；C.rn时，Axb有无穷多解；D.mn时，Axb有解411.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则____________。A）方程组有无穷多解B)方程组无解C)方程组有唯一解或无穷多解D)方程组可能无解，也可能有无穷多解三、计算与证明1.求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3),(4,3,1,3)的秩和一个极大线性无关组，并把其余的向量用极大线性无关组表出.2．取何值时，线性方程组123123123322xxxxxxxxx有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.3.已知向量组12,,,m线性无关，令112223111,,,,mmmmm，讨论向量组12,,,m的线性相关性.4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,是它的三个解向量，且123(2,3,4,5),(1,2,3,4).求该方程组的通解.5.设向量12,,,n线性无关，且12(1)nn，证明：12,,n也线性无关.6.设齐次线性方程组111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（*）的系数行列式0D，而D中元素ija的代数余子式0ijA.证明：（*）的通解为12(,,,),iiinkAAAkP.7．设有向量2123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,0,)tttt，问t为何值时，a)可由123,,线性表示，且表达式唯一；b)可由123,,线性表示，且表达式不唯一；不可由123,,线性表示。82．取何值时，齐次线性方程组0)3(14202)8(023)2(321321321xxxxxxxxx有非零解？并求出一般解.