高等数学(Ⅱ)模拟试题之五

高等数学（Ⅱ）模拟试题之五一、填空题（本题15分，每小题3分）1．设L为圆周922yx取正向，则曲线积分Ldyxxdxyxy)4()22(2.2．在微分方程)1(232xeyyyx中，可设其特解形式（不用求出待定系数）为*y.3．设L为椭圆22143xy，其周长记为a，则Ldsyxxy)432(22.4．光滑曲面),(yxfz在坐标平面xOy上的投影域为D，那么该曲面的面积可用二重积分表示为.5．函数xyzzyxu3332的梯度在曲面上垂直于z轴.二、选择题（本题15分，每小题3分）1．设a为常数，则级数1cos1)1(nnna（）(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性与a的取值有关2．设是由22yxz与1z所围成的在第一卦限的部分，则dvzyxf),,(()（A）20010),,(xzzdyzyxfdxdz(B)22201010),,(yxxdzzyxfdydx(C)110202),sin,cos(rrdzzrrfdrd(D)11010222),,(yxxdzzyxfdydx3．若二元函数),(yxf在点),(00yx可微，则),(yxf在点),(00yx处下列结论不一定成立的是（）(A)连续(B)偏导数存在(C)偏导数连续(D)有定义4．设2(),01fxxx，而正弦级数1()sinnnSxbnx，其中),3,2,1(sin)(210nxdxnxfbn，则1()()2S1111()()()()2442ABCD返回5．由抛物线2xy及直线1y所围成的均匀薄片（面密度为）对于直线1:yl的转动惯量为lI=()（A）Ddxdyx2)1((B)Ddxdyx2)1((C)Ddxdyy2)1((D)Ddxdyy2)1(三、（本题8分）设函数6),,(zyxyzzxxyzyxf，问在点)0,4,3(P处沿怎样的方向l，f的变化率最大？并求其最大的变化率.四、（本题8分）设yxeuyxufz),,,(，其中f具有二阶连续导数，求yxz2.五、（本题8分）计算曲面积分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy3331，其中)(uf具有连续的导数，为由曲面,4,1,222222yxzyxzyxz所围立体表面外侧.六、（本题8分）计算二重积分Ddxdyyx)(，其中}2),({22xyxyxD.七、（本题8分）求幂级数nnxnn121的收敛域与和函数.八、（本题8分）将函数)54ln()(xxf展开为)2(x的幂级数，并指出其收敛域.九、（本题8分）一容器在开始时盛有盐水溶液100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量.十、（本题8分）已知曲线积分Lxdyxfydxxfe)()](2[与积分路径无关，且0)0(f，求)(xf，并计算)1,1()0,0()()](2[dyxfydxxfex的值.十一、（本题6分）证明],[,412cos)1(22121xxnxnnn，并求级数121)1(nnn的和.高等数学（Ⅱ）参考答案一、填空题（本题15分，每小题3分）1．设L为椭圆22143xy，其周长记为a，则Ldsyxxy)432(2212a.2．函数xyzzyxu3332的梯度在曲面xyz2上垂直于z轴3．光滑曲面),(yxfz在坐标平面xOy上的投影域为D，那么该曲面的面积可用二重积分表示为dxdyyzxzD221.4．在微分方程xeyyyx2cos23中，可设其一个特解形式为xeBxeAyxx2sin2cos11*.5．设L为圆周922yx取正向，则曲线积分Ldyxxdxyxy)4()22(218.二、选择题（本题15分，每小题3分）1．由抛物线2xy及直线1y所围成的均匀薄片（密度为）对于直线1:yl的转动惯量为lI=(C)（A）Ddxdyx2)1((B)Ddxdyx2)1((C)Ddxdyy2)1((D)Ddxdyy2)1(2．设2(),01fxxx，而正弦函数1()sinnnSxbnx，其中102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，则1()()2SC1111()()()()2442ABCD3．若二元函数),(yxf在点),(00yx可微，则),(yxf在点),(00yx处下列结论不一定成立的是（D）(A)连续(B)偏导数存在(C)偏导数连续(D)有定义4．设a为常数，则级数1cos1)1(nnna（B）(B)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性与a的取值有关5．设是由22yxz与1z所围成的在第一卦限的部分，则dvzyxf),,((B)（A）10002),,(zxzdyzyxfdxdz(B)10100222),,(xyxdzzyxfdydx(C)201012),sin,cos(rrdzzrrfdrd(D)10101222),,(xyxdzzyxfdydx三、解下列各题（本题28分，每小题7分）1．设yxeuyxufz),,,(，其中f具有二阶连续导数，求yxz2.xz'2'1fefyyxz2=yyyyeffxefefxef'1''23''21''132''112．设函数6),,(zyxyzzxxyzyxf，问在点)0,4,3(P处沿怎样的方向l，f的变化率最大？并求其最大的变化率.)6,2,3()1,1,1()0,4,3(Pyxzxzygradf解.7)0,4,3(.)6,2,3(gradflflfP其最大的变化率为的方向变化率最大沿3．计算二重积分Ddxdyyx)(，其中}02,4),({2222xyxyxyxD..22143316cos316cos2)(204cos2020221drdrrdxdxdyxdxdyxdxdyxdxdydxdyyxDDDDD＝－＝解上其中},4),({221yxyxD，}02),({222xyxyxD.4..计算曲面积分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy3331，其中)(uf具有连续的导数，为由曲面,4,1,222222yxzyxzyxz所围立体表面外侧...)22(59351sin6sin3)3215402144020222rddrrdddvzyx（原式＝解四、计算或证明下列各题（本题21分，每小题7分）1．将函数)54ln()(xxf展开为2x的幂级数，并指出其收敛域..41145,)2(34)1(3ln)]2(341ln[3ln]3)2(4ln[)(1xnxxxxfnn解2．求幂级数nnxnn121的收敛域与和函数.nnnxnn02!21解：因为：)1,1(-1,1||lim1收敛域为时级数发散，xaannn)11(),1ln()1(11111200110111112xxxxdxxxxxdxxdxxnxxnxnxnnxxnnxnnnnnnnn＝＝3．证明],[,412cos)1(22121xxnxnnn，并求级数121)1(nnn的和..],[,412222内展为余弦级数在故将为偶函数因为证xx)(,cos)1(43.0,)1(4sin1cos2sin2cos2,322122220322022020xnxnxbnnxnnxnxnxnxnxdxxadxxannnnxnx整理得],[,412cos)1(22121xxnxnnn.0x得12)1(2121nnn.五、计算下列各题（本题21分，每小题7分）1．已知曲线积分Lxdyxfydxxfe)()](2[与积分路径无关，且0)0(f，求)(xf，并计算)1,1()0,0()()](2[dyxfydxxfex的值.,)(2)(xexfxfxQyP，得由解,31)(222xxdxxdxeCeCdxeeexf因为0)0(f，所以31C，于是).(31)(2xxeexf故10210)1,1()0,0()(310)()](2[dyeedxdyxfydxxfex)(312ee.2．一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量。解：设在过程开始后t分钟容器中含盐x公斤，在时刻t的容器内含液体100+3t-2t=100+t(升)，此时溶液的浓度为x/(100+t)（公斤/升）,经过dt时间，容器内含盐改变dx（dx0），从而由微元法知：dttxdx2100分离变量解此微分方程得：2)100(tcx，当t=0时x=10,由此初始条件解得特解,)100(1025tx当公斤，时9.3160106025xt3．(1)验证)()!3(!9!6!31)(3963xnxxxxxyn满足微分方程xeyyy(2)利用（1）的结果求幂级数03)!3(nnnx的和函数解：即求xeyyy的满足初始条件1|0xy,0|0xy的特解.