高等数学(下)总复习

《高等数学(下)》总复习一、多元函数1，设(,,)xzfxyxy，其中f有连续的二阶偏导数，求2zxy.2，设f有连续的二阶偏导数或导数，求22222,,,,zzzzzxyxxyy，其中：（1）22(,)zfxyxy；（2）22()zfxy.3，设(2,sin)zfxyyx，其中f有连续的二阶偏导数，求2zxy.4，设zexyz，求22zx.6,求球面2226xyz与抛物面22zxy的交线在点(1,1,2)处的切线方程.7,设sin()(,)xzxyxy,其中具有连续的二阶偏导数，求2zxy.8，求由方程2222xyzxyz所确定的隐函数在点(1,0,1)处的全微分dz.9，求二元函数22(,)ln(2)lnfxyxyyy的极值.10，求函数222(,)xyfxyxe的极值.11，求函数3(,)()3xyxfxyye的极值.12，求函数222(,,)fxyzxyz在约束条件22zxy和4xyz下的最大值和最小值.二、重积分计算下列重积分：1，22222111210002yyyxyxedyedxedyedx.2，1xyyDedxdyy，其中D是由曲线,2xyey与0x所围成的区域.3，22201lnlnlneexxeyxxdydxdydxee.4，2ln22220lnxyeedxdyy.5，222211122211()xxxydxdyxyzdz.6，arctanDydxdyx,其中D:2214,0,0xyxy.7，222()xyzdxdydz,其中：22222,14zxyxyz.8，设()()Ftfzdxdydz，其中()fz连续，是由222(0)ztxyt与0z围成的上半球体，求30()limtFtt.9，sinDydxdyy，其中D是由曲线2yx与yx所围成的区域.10，zdxdydz，其中是由224zxy与平面1,3zz围成的区域.三、曲线曲面积分计算下列曲线曲面积分：1,Lxyds，其中L是圆周222(0)xyaa.2，Lydxxdy,其中L是上半圆周222xyx从原点至点(2,0).3，222Lxdyydxxy,其中L是以(1,0)为圆心、(1)RR为半径的圆周，取顺时针方向.4，2(21)(2)yyLxedxxexdy，其中L是22(1)9xy的上半圆周，取逆时针方向.6，4(2)3xyzdS，其中为平面1234xyz在第一卦限的部分.7，22()xydS，其中为曲面222xyz与1z所围立体的全表面.8，22()xyzdS，其中为22zxy介于0z与1z之间的部分.9，zdS，其中为221()(01)2zxyz.10，2(81)2(1)4Syxdydzydzdxyzdxdy，其中S是由曲线1,(13)0zyyx绕y轴旋转一周所得曲面的外侧.11，(2)xzdydzzdxdy，其中为有向曲面22zxy被1z所截得的曲面，取上侧.12，2223(22)xdydzydzdxzdxdyxyz，其中为单位球面2221xyz的外侧.13，32222()xdydzydzdxzdxdyxyz，其中为球面2222(1)(0,1)xyzaaa的外侧.14，242()Sxzdydzyzdzdxzzdxdy，其中S是由曲线(02)yzey绕z轴旋转一周所得曲面的下侧.四、级数选择适当方法判断下列数项级数的敛散性。（1）2141nnnn（2）3112ln()1nnnn（3）12pnnn（4）1!nnnnn（5）21sin36nnnn（6）121(1)nnnnn（7）12sin3nnn（8）111[ln(1)]nnn（9）31153nnnn（10）1[4(1)]nnnn判断下列数项级数的敛散性。若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。（1）11(1)sinnnn（2）1210(1)()31nnnnn（3）1(1)lnnnnn（4）11!(1)10nnnn（5）11(1)ln()nnnn（6）11(1)!(1)nnnnn求下列幂级数的收敛区域：（1）1nnnx（2）1nnxn（3）1npnxn（4）12!nnnxn求下列幂级数的和函数：（1）2111(1)21nnnxn(2)202!nnxn(3)21nnxn(4)20(21)nnnx(5)0(21)nnnx(6)22044321nnnnxn(7)121(1)21nnnxn(8)1211(1)[1](21)nnnxnn（9）2021!nnnxn（10）220212nnnnx求下列级数的麦克劳林级数并求出收敛区域：（1）()(1)xfxxe（2）1()ln1xfxx（3）2()(1)arctanfxxx（5）2()sinfxx（6）2()arctanln1fxxxx将下列函数在指定区间上展开成傅里叶级数：（3）,0(),0xxfxxx展开成傅里叶级数（4）,0(),0xxfxxx展开成傅里叶级数，并求此级数在点0x的和。五、复变函数利用适当方法求下列积分：（1）1zzedzz（2）222zdzz（3）1(21)(2)zzdzzz（4）1222(1)(2)zzdzzz（5）221(9)zzedzzz（6）32sinzzdzz（7）222(1)zzedzz求下列函数的奇点并判断其类型：（1）sin()zfzz（2）2sin()zfzz（3）1()sin1fzz（4）221()(4)zfzzz（5）3sin()zfzz（6）21()(1)zfzze（7）321()1fzzzz（8）2()(1)(1)zzfzze（9）11()zfze（10）ln(1)()zfzz将下列函数在指定圆环内展开成洛朗级数：（2）21(),01(1)fzzzz.（3）21(),12(1)fzzzz.（4）1(),011(2)(1)fzzzz；（5）1(),12(2)(1)fzzzz.（6）1(),34(3)(4)fzzzz。（7）1(),4(3)(4)fzzzz.求下列函数在指定点的留数：（1）222(),(1)zfzziz（2）1()sin,11fzzz（3）1(),21zfzznie（4）21()sin,0fzzzz（5）4231(),(1)zfzziz（6）21(),0,22zfzzzz（7）1(),sinfzznzz（8）241(),0zefzzz。