高等数学习题详解-第8章二重积分

-1-习题8-11.设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，且μ(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：(,)Dmxyd.2.试比较下列二重积分的大小：(1)2()Dxydσ与3()Dxydσ，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；(2)ln()Dxydσ与2ln()Dxydσ，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D内，2301xyxyxy，故，23()()DDxydxyd.(2)在D内，212ln()1,ln()ln()xyxyxyxy，故0从而,2ln()[ln()]DDxydxyd习题8-21.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)()Dxydσ，其中D为矩形闭区域：1,1xy；(2)(32)Dxydσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；(3)22()Dxyxdσ,其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；(4)2Dxydσ,其中D是半圆形闭区域:x2+y2≤4,x≥0；(5)lnDxydσ,其中D为:0≤x≤4,1≤y≤e；(6)22Dxdσy其中D是由曲线11,,2xyxyx所围成的闭区域.解：(1)111111()()20.Dxyddxxydyxdx(2)2222000(32)(32)[3(2)(2)]xDxyddxxydyxxxdx223202220[224]4.330xxdxxxx(3)32222222002193()()()248yyDyxyxddyxyxdxydy43219113.96860yy(4)因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以20.Dxyd(5)44201041lnln(lnln)2(1)2110eDeeexyddxxydyxyyydxxe.(6)122224111311122222119()()124642xxDxxxxxxddxdydxxxdxyyyx.-2-2.将二重积分(,)Dfxydσ化为二次积分（两种次序）其中积分区域D分别如下：(1)以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(3)由直线y=x,x=2及双曲线1yx所围成的闭区域；(4)由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解：(1)1221200100(,)(,)(,).xxyydxfxydydxfxydydyfxydx(2)24241004(,)(,).xyxydxfxydydyfxydx(3)12222111112(,)(,)(,).xyyxdyfxydxdyfxydxdxfxydy(4)211110(,)(,).yxydxfxydydyfxydx3.交换下列二次积分的积分次序：(1)100(,)ydyfxydx；（2）2220(,)yydyfxydx；(3)ln10(,)exdxfxydy；(4)12330010(,)(,)yydyfxydxdyfxydx.解：(1)111000(,)(,)yxdyfxydxdxfxydy.(2)2224002(,)(,).yxxydyfxydxdxfxydy(3)ln1100(,)(,)yexeedxfxydydyfxydx(4)123323001002(,)(,)(,)yyxxdyfxydxdyfxydxdxfxydy.4.求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22Vdxxydyxdx5.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6－z截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312xxVdxxydyxxxdx习题8-31.画出积分区域，把二重积分(,)Dfxydσ化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1)x2+y2≤a2(a0)；(2)x2+y2≤2x；(3)1≤x2+y2≤4；(4)0≤y≤1－x,0≤x≤1.解：(1)200(,)(cos,sin).aDfxyddfrrrdr(2)2cos202(,)(cos,sin).Dfxyddfrrrdr(3)2201(,)(cos,sin).Dfxyddfrrrdr(4)12cossin00(,)(cos,sin).Dfxyddfrrrdr2.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：-3-(1)222200()aaydyxydx；(2)21220;xxdxxydx解：(1)224422320000()248aayaaadyxydxdrdr.(2)22sin3122244cos600001sin3cosxxdxxydxdrdrd244466400011cos111(cos)[(cos)(cos)]33coscoscosddd532(21)1coscos4().3534503.在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22xyDedσ,其中D是圆形闭区域:x2+y2≤1；(2)22ln(1)Dxydσ,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDydσx，其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DRxydσ其中D由圆周x2+y2=Rx(R0)所围成.解：(1)22222100112(1).20xyrrDedderdree(2)23112222220001ln(1)ln(1)[ln(1)]2201Drrxyddrrdrrdrr2120(1)[ln22](2ln21)441rrrdrr.(3)222244010133arctanarctan(tan).32264Dyddrdrdrdrx(4)222DRxydσ3cos2222222022cos12()230RRdRrrdrRrd3333221(sin)33RRRd.4.求由曲面z=x2+y2与22zxy所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：212222200[()]().6DVxyxyddrrrdr习题8-41.计算反常二重积分()xyDedxdy，其中D：x≥0,y≥x.2.计算反常二重积分222()Ddxdyxy，其中D：x2+y2≥1.解：1.222001()2aaaaxyxxaaaxedxedyeedxee-4-所以2()211lim().22axyaaaDeedxdyee2.由232011112()22RddrrR，得222211lim2().2()2RDdxdyxyR复习题8（A）1.将二重积分dd(,)Dfxyxy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：(1)︱x︱≤1,︱y︱≤2;(2)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解：(1)12211221(,)(,).dxfxydydyfxydx(2)2424004(,)(,).xyyxdxfxydydyfxydx2.交换下列两次积分的次序：(1)dd10(,)yyyfxyx;(2)dd22200(,)aaxxxfxyy;(3)dd+dd1220010(,)(,)xxxfxyyxfxyy．解：(1)21100d(,)dd(,)dyxyxyfxyxxfxyy.(2)2222222000d(,)dd(,)daaxxaaayaayxfxyyyfxyx.(3)1221200100d(,)d+d(,)dd(,)dxxyyxfxyyxfxyyyfxyx.3.计算下列二重积分：(1)edxyDσ，D:︱x︱≤1,︱y︱≤1;(2)dd2Dxyxy,D由直线y1,x2及yx围成；(3)dd(1)Dxxy,D由yx和yx３围成；(4)dd22()Dxyxy，D:︱x︱︱y︱≤1;(5)d1sinDyσy，D由22yx与yx围成；(6)d(4)Dxyσ，D是圆域x2＋y2≤R2；解:(1)1111111211111ed()()()1xyxyxxxxDdxedyeedxeeee.(2)5322224211121129dd()()2253151xDxxxyxydxxydyxxdx.(3)3112430011117(1)dd(1)()325460xxDxxydxxdyxxxxdx.(4)11222200()dd4()xDxyxydxxydy-5-33241201412124(2)4()33323330xxxxxxdxx.(5)222200sin12sind(sinsin)yyDyydydxyyydyyy22002222sin(cos)1(cossin)10ydyydyyyy.(6)3222000(4)d(4cossin)[2(cossin)]3RDRxydrrrdrRd3222[2(sincos)]430RRR.4.已知反常二重积分ed2yDxσ收敛，求其值．其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)aDyxyxyaa是由曲线、和在第一象限所围成.则2222224000915555ed()236144144144ayaaayyyyayDxdyxedxyedyedye.所以225edlimed144ayyaDDxx.5.计算ed2xx．解：由第四节例2以及2y=ex是偶函数，可知2edxx.6.求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积．解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2=4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)dd(4)2(8)84Dxyxydrrdr.7.已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线eyx．(1)求由曲线y=lnx，直线eyx和y=0所围成的平面图形D的面积；(2)求以平面图形D为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积．解：(1)1ln(ln)12221eeeeeSxdxxxx.(2)221120013()()2220yyeyyyyyyeeVdye