高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习

导数的意义基本知识1．导数、单侧导数、导函数的定义：左、右导数导函数2．导数的几何物理意义：几何意义：表示曲线在点处的切线斜率，即其中是切线的倾角。物理意义：表示做变速直线运动的物体在时刻的瞬时速度，即。3．在点可导的性质：性质1（必要条件）在点可导在点连续，即：可导连续，不连续不可导。性质2（充要条件）依此用于判定连续函数在分段点的可导性。性质3在点可导且：当有当有即的符号指示了在点变化方向！4．两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数；2）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。下面给出结论1的证明：设为偶函数，即又可导，根据导数定义，即为偶函数。求导的基本知识1.求导法则（四则运算法则）：若都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在具有导数，且2.反函数的求导法则：若在区间内单调，可导且，则它的反函数在区间内也可导，且即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”。3.复合函数的求导法则：若可导，则复合函数在点可导，且4.常用求导公式：（略）5.补充两个结论：Ⅰ点连续且，则点可导点可导。点连续且，则点可导点可导且。依此，可方便地判定在一点的可导性。Ⅱ点可导，点连续但不可导，则在点可导即若在点不可导，若在点可导且依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。证明：Ⅰ（或）有（或）（或）点可导点可导且点导数点导数。Ⅰ点可导存在或即。Ⅱ设由知点可导且设点可导，反证之，若由知，由、点可导且知点可导与条件点连续矛盾高阶导数基本知识1.高阶导数定义:二阶导数：阶导数：2.高阶导数的基本公式：（任意数）、简记为、，、阶可导，重点难点1.求一给定的函数的任意阶导数即，常用如下方法：（1）归纳法：先逐一求出的一、二、三阶导数，然后正确归纳的公式（必要时用数学归纳法证明之）。（2）分解法：通过恒等变形将分解成，求出、，则有。（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的阶导数。（4）利用简单的初等函数的阶导数公式。2.求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。例（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分式之和，此后再求导。（2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的代数和，再行求导。（3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数，它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。3.计算带有或分段函数的复合函数的二阶导数时，应先把复合函数按分段函数正确表达，再逐次求导；在分段点若一阶导不存在，则二阶导不必计算；若存在，应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算，步骤比较多，不要遗漏。习题选解1.求下列函数的二阶导数：（10）解：（采用逐阶求导法解之）（11）解：3.若存在，求下列函数的二阶导数：（1）解：（2）解：4.试从导出：（1）（2）证明：（1）（2）[注：、等仍是的函数]6.验证（、、常数）满足关系式。证明：[只须算出，再验证之]8.求下列函数的阶导数的一般表达式：（2）解：（4）解：由乘积函数的莱布尼兹公式和得：9.求下列函数所指定的阶的导数：（2）求.解：[的高阶导数都为零，应该用莱布尼兹公式计算本题]在线检测1.设有阶导数，求证：.2.求下列函数的阶导数：（1）（2）（3）3.求在处的阶导数。4.设，具有二阶导，求.【答案：1.略2.（1）[提示：，注意]（2）[提示：变形]（3）[提示：用莱布尼兹公式]3.]4.