高等数学教学大纲及考试题

《高等数学》教学大纲郑州信息工程职业学院二○一一年十二月《高等数学》课程教学大纲课程名称：高等数学英文名称：《HigherMathematics》课程性质：公共基础课适用专业：经济类、管理类、工科类等非数学专业专科生说明课程的地位与任务《高等数学》是高等职业教育的一门必修的基础课程，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术的重要基础。本课程包括微积分、空间解析几何等部分知识。本课程教学大纲的制定是以高等职业教育的培养目标、教学计划为依据，遵循“必需、够用”为度的原则，适应于高职高专类对本课程的要求。本大纲适用于三年制专科各专业《高等数学》的教学。教学目的与要求：通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数、常微分方程等基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，并受到数学方法和应用这些方法解决经济管理领域中实际问题的初步训练，为掌握专业经济理论和提高专业技能打下必备的、较扎实的数学基础。在教学活动中，渗透素质教育，使学生提高逻辑思维能力，注重培养严谨求实的科学态度，树立科学的世界观。在课堂教学上应采用启发式教学法，并安排适当数量的习题课。部分专业可根据专业需要，对教学内容作适当调节。教材选用：同济大学等主编《高等数学》、高等教育出版社、2009年教学时数及分配表：128学时（周4学时，共32周）学时分配表章序教学内容学时数理论实践高等数学（上）第一章函数、极限、连续140第二章导数与微分140第三章中值定理与导数的应用100第四章不定积分100第五章定积分及其应用160高数（上）学时合计64高等数学（下）第六章向量代数与空间解析几何120第七章多元函数微积分学220第八章无穷级数140第九章微分方程160高数（下）学时合计64一、教学内容第一章函数与极限1、本章教学内容函数概念，基本初等函数图象性质，复合函数初等函数概念；数列函数极限，无穷大量与无穷小量；极限运算法则，两个重要极限，函数的连续性。2、教学要求（1）、在初数所学的基本初等函数的有关知识的基础上，了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。（2）、理解数列极限、函数极限的定义。（3）、掌握极限的四则运算法则。（4）、了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。（5）、了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。掌握两个重要极限求极限。（6）、理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。3、重点与难点教学重点：函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；连续概念。教学难点：函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。第一节函数、初等函数一、邻域二、函数特性三、基本初等函数四、复合函数第二节极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质第三节极限的运算一、极限的运算法则二、复合函数的极限法则第四节极限的存在准则与两个重要极限一、夹逼准则二、极限存在准则第五节无穷小与无穷大、无穷下的比较一、无穷小二、无穷大三、无穷小的比较第六节函数的连续性与间断点一、连续函数的概念二、左连续与右连续三、连续函数与连续区间四、函数的间断点第七节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算二、复合函数的连续性三、反函数的连续性四、初等函数的连续性第八节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理第二章导数与微分1、教学内容导数概念、函数和、差、积、商的导数，复合函数求导法则，隐函数求导法则，反函数求导法则，初等函数的导数，高阶导数，微分概念。2、教学要求（1）、理解导数的定义，了解导数的几何意义，会求曲线在给定点处的切线方程和法线方程。知道函数的可导性与连续之间的关系。（2）、熟练掌握基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，复合函数求导法则；会求隐函数及参数方程的一阶导数。（3）、了解高阶导数的概念，能求出初等函数的二阶导数。（4）、理解微分的概念，了解微分的几何意义，了解函数可导、可微、连续之间的关系。掌握微分公式与运算法则。3、重点与难点教学重点：导数与微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的求法；微分的求法。教学难点：导数的定义求法；复合函数的求导法，隐函数的求导法。第一节导数的概念一、导数概念的引例二、导数定义与几何意义三、函数的可导性与连续性的关系第二节函数的求导法则一、导数的四则运算第三节反函数的导数与复合函数的导数一、反函数求导法则二、复合函数的求导法则第四节隐函数的导数与初等函数的求导公式一、隐函数的导数二、对数求导法三、初等函数的导数第五节高阶导数第六节函数的微分及应用一、微分的定义二、函数可微的条件三、微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则第三章中值定理与导数应用1、教学内容中值定理，洛必达法则，函数单调性判定，函数极值与求法;最大最小值求法及应用，曲线凹凸与拐点，曲线渐近线，函数图象描绘。2、教学要求（1）、了解Rolle定理和Lagrange定理及其几何解释。（2）、掌握洛必达法则，掌握不定型极限的求法。（3）、理解极值概念，掌握判断函数单调性的方法，掌握极值求法。（4）、掌握最值求法，掌握简单的最大、最小值的应用题的求解。（5）、理解函数凹凸概念，会用导数求拐点和判定函数凹凸性；会用极限求函数的渐近线。（6）、会描绘简单的常用函数的图形。3、重点与难点教学重点：Rolle定理和Lagrange定理，洛必达法则，函数的极值概念，用导数判断函数的单调性与凹凸性和极值与拐点的求法。教学难点：Rolle定理和Lagrange定理，洛必达法则的应用，函数的极值概念，用导数判断函数的单调性与凹凸性和极值与拐点的求法，函数图形的描绘。第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二节洛必达法则一、00型与型未定式二、其它类型的未定式第三-五节函数的单调性、最值、凸凹性与极值一、函数的单调性二、曲线的凸凹性三、极值第六节函数图形的描绘一、渐近线二、函数图形的描绘第四章不定积分1、教学内容不定积分概念性质，换元积分法、分部积分法、简单的有理函数的积分（选修），积分表的使用。2、教学要求（1）、理解不定积分概念，了解不定积分的性质，理解不定积分和微分之间的内在联系。（2）、熟练掌握不定积分基本公式、熟练掌握不定积分的第一类换元法和常见类型的分部积分法。掌握第二类换元法（限于三角置换、根式置换）。会求简单的有理函数的积分(选修)。（3）、了解积分表及其使用方法。3、重点与难点教学重点：不定积分的概念和性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。教学难点：不定积分的换元积分法和分部积分法，简单的有理函数的积分。第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、基本积分表第二节换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换积分法第三节分部积分法第四节若干初等可积函数类一、有理函数的积分第五章定积分及其应用1、教学内容定积分概念的性质，定积分的基本公式，定积分的换元积分与分部积分法、反常积分。定积分的微元法，平面图形面积。2、教学要求（1）、理解定积分的概念及其几何意义，了解定积分的基本性质。（2）、了解变上限的定积分是变上限的函数及其求导定理。熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。（3）、了解广义积分概念，会计算一些简单的反常积分。（4）、能用微元法求平面图形的面积。3、重点与难点教学重点：定积分的概念与性质，定积分的换元积分法和分部积分法；变上限积分的导数；Newton-Leibniz公式；定积分的微元法，平面图形面积，旋转体体积。教学难点：定积分的概念与性质，变上限积分的导数；反常积分；平面图形面积，旋转体体积。第一节定积分概念一、引例二、定积分的定义三、定积分的近似计算四、定积分的性质第二节微积分基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿—莱布尼兹公式第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法二、定积分的分部积分法第五节定积分的几何应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积第六节反常积分一、无穷限的广义积分第六章空间解析几何与向量代数1教学内容空间直角坐标系，向量及其线性运算，向量的坐标形式，向量数量积、向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程,二次曲面及其方程。2、教学要求（1）、理解空间直角坐标系，向量概念及其坐标表示。（2）、掌握向量的线性运算、点积运算、叉积运算，掌握两向量垂直与平行的条件。（3）、了解曲面一般方程，掌握旋转曲面、柱面方程及其求法。（4）、了解空间曲线一般方程、参数方程。会求柱面、旋转曲面在各坐标面截痕，并会画出曲面图形。（5）、掌握平面方程及其求法，直线方程及其求法。（6）、了解二次曲面方程，能用截痕画二次曲面图形。3、重点与难点教学重点：空间直角坐标系，向量及其线性运算，向量的坐标形式，向量数量积、向量积，曲面及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程,教学难点：向量及其线性运算，向量的坐标形式，向量数量积、向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程,二次曲面及其方程。第一节向量及其线性运算一、空间直角坐标第二、空间两点间的距离三、向量的坐标表示四、向量的代数运算五、向量的模与方向余弦六、向量在轴上的投影第三节向量的数量积与向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积第三节平面与直线一、点的轨迹方程的概念二、平面三、直线四、平面、直线间的夹角第四节空间曲面与曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、空间曲线及其方程第七章多元函数微积分学1、教学内容多元函数概念，偏导数，全微分，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，多元函数的极值及其求法；二重积分概念与性质，二重积分计算方法，二重积分在几何方面的应用。2、教学要求（1）理解多元函数概念（2）理解偏导数概念，掌握偏导数求法（3）理解全微分概念，了解函数在一点可微、偏导存在及连续相互关系（4）掌握多元复合函数、隐函数求导方法（5）理解多元函数极值概念，掌握极值求法，并能解决实际中二元函数的极值最值问题。（6）、理解二重积分概念、性质，熟练掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。（7）、能用二重积分计算几何体的几何量。3、重点与难点教学重点：多元函数概念，偏导数与全微分的概念及求法，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，多元函数的极值及其求法。二重积分概念与性质，二重积分计算方法，二重积分在几何方面的应用。教学难点：偏导数的概念，全微分的概念，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，多元函数的极值及其求法。第一节多元函数一、平面区域的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算方法二、高阶偏导数第三节全微分第四节复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法二、隐函数微分法三、微分法在几何上的应用第五节多元函数的极值一、二元函数极值的概念二、条件极值拉格朗日乘数法第六节二重积分一、二重积分的概念二、二重积分的性质第七节二重积分的计算（一）一、在直角坐标系下二重积分的计算二、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算第八节二重积分的计算（二）一、在极坐标系下二重积分的计算二、二重积分的应用第八章无穷级数1、教学内容常数项级数的概念与性质及其审敛法；幂级数。2、教学要求1、理解常数项级数的概念与性质2、掌握常数项级数的审敛法3、掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的求法，了解泰勒公式和泰勒级数。3、重点与难点教学重点：常数项级数的概念与性质及其审敛法，幂级数的收敛半径和收敛区间的求法。教学难点：常数项级数的审敛法，泰勒公式和泰勒级数。第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质第二节正项级数及其收敛法一、正项级数的比较审敛法二、正项级数的比值审敛法第三节绝对收敛与条件收敛一、