高等数学第一册同济第五版试题

1高等数学3（A）卷答案及评分标准一、填空题（每空3分共18分）1、212、03、dxxx)1arctan2(4、)1(22xxex5、2ln236、xxeCeCy231二、单项选择题（每小题3分共15分）1、C2、C3、A4、C5、B三、计算题（每小题5分共45分）1、解：xxxx)63(lim=xxx)631(lim=)63)(36()631(limxxxxx…………………3分=xxxe63lim=3e…………………………………………………..5分2、解：)111(lim0xxex=)1(1lim0xxxexxe=11lim0xxxxxeee……………………...3分=21lim0xx=21…………………………………………….5分3、解：tttttdxdysin4cos2sin2)'(sin)'2(cos…………………………………………...2分当4t时，22x，0y，22dxdy…………………………………..4分切线方程为：222xy……………………………………………………5分4、解：用对数求导法得到：)1(ln)'(xxxxx………………………………………...2分)'()'3()'()'3(33xxxxdxdy=)1(ln33ln32xxxxx……………...…..5分5、解：xdxarcsin=xxdxxarcsinarcsin=dxxxxx21arcsin…….2分2=)1(1121arcsin22xdxxx=Cxxx21arcsin……...…5分6、解：d03)sin1(=dd030sin1=cos)cos1(02d……3分=03cos31cos=34………………………………………...…5分7、解：令txsec，则tdttdxsectan，当2x时，4t，当2x时，3t…………………………………...2分dxxx22211=341dt=34t=12……………………………………….5分8、解：积分区间为]8,0[………………………………………………………………..…..1分dyyV80232])(2[=8035534yy=564……………………...….5分9、解：方程为一阶线性微分方程，其中xxPcos)(，xexQsin)(，则方程的通解为：)(cossincosCdxeeeyxdxxxdx=)(sinCxex………………………….3分由于1|0xy，则1C则方程的特解为：)1(sinxeyx……………………………………………….5分四、证明题（每题6分共12分）1、证明：令xxxxfarctan)1ln()1()(，则111)1ln()('2xxxf22)1(211)(xxxxf…………………………………………………….3分由于当0x时0)(xf，则)('xf在),0[单调递增，3则当0x时，0)0(')('fxf，则)(xf在),0[单调递增，则当0x时，0)0()(fxf，即xxxarctan)1ln()1(……...…..6分2、证明：由Cyxyx22得，yxyxy22'…………………………………………3分代入微分方程，得：左边=yxyxyx22)2(=yx2=右边则由二元方程Cyxyx22所确定的函数)(xyy为微分方程的解…………...6分五、综合题（10分）解：)1()('xxxF，令0)('xF，得0x或1x当)0,1[x时，0)('xF；当)1,0(x时，0)('xF；当]5,1(x时，0)('xF…………………………………………………………….3分则)(xF的单调增区间为[-1,0]和[1,5]，单调减区间为[0,1]；)(xF在0x处取极大值000)1()0(dtttF)(xF在1x处取极小值1061)1()1(dtttF…………………………….6分12)(xxF，令0)(xF，得21x当)21,1[x时，0)(xF；当]5,21(x时，0)(xF则)(xF在]21,1[上是凸的，在]5,21[上是凹的，拐点为))21(,21(F，即)121,21(..10分