高等数学题库第10章(无穷级数)

-1-第10章无穷级数习题一一、判断题1.级数101nn发散；（）2.几何级数02nnq，当1q时，收敛于q12；当1q时，发散；（）3.若级数1nnu发散，则0limnnu；（）4.若级数1)(nnnvu收敛，则级数1nnu和1nnv均收敛；（）5.设ns为1nnu的前n项的部分和，则nnslim存在是1nnu收敛的充分必要条件。（）二、填空题1.级数1)1(1nnn的部分和_________,ns此级数的和________;s2.当1x时，13nnx的和________;s3.已知aann1，则级数11)(nnnaa的部分和_________,ns此级数的和________;s4*.已知1!2nnnnn收敛，则.__________!2limnnnnn三、选择题1.下列说法正确的是（）；-2-A、若,1nnu1nnv都发散，则1)(nnnvu发散B、若1nnu发散，则11nnu收敛C、若1nnu收敛，则11nnu收敛D、若,1nnu1nnv都发散，则1)(nnnvu发散2.若1nnu收敛，1nnv发散，则对1)(nnnvu来说，结论（）必成立；A、级数收敛B、级数发散C、其敛散性不定D、等于1nnu1nnv3.下列级数发散的是（）；A、121nnB、12)1(nnC、211nnD、12)1(nnn4*.下列级数中，条件收敛的是（）；A、15)1(nnnB、121)1(nnnC、11)21()1(nnnD、111)1(nnn5.下列级数中，绝对收敛的是（）。A、111)1(nnnB、1)1(nnnn-3-C、1ln)1(nnnD、11)1(nnnn四、按定义判断下列级数是否收敛？若收敛，求其和：1.;)13)(23(11nnn2.11)1(nn五、用比较审敛法判别下列级数的收敛性1.;12171311n2.;111nnn3*.;112nnn4.).0(111aann六、用比值判别法判别下列级数的收敛性1.;221nnn2.;!)12(5311nnn3*.;2sin11nnn4..!31nnnnn七、判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？并说明原因1.;1)1(11nnn2.;3)1(111nnnn3.;1312)1(1nnnn4*.).(sin13为常数nnn习题二一、填空题1.已知幂级数nnnxa0的收敛半径2R，则在下列x值：ee1,,0,1,1,2,2中，幂级数nnnxa)3(0的收敛点是_________，绝对收敛点是_________，发散点是_________，不能确定收敛性的点是__________；-4-2.03nnnx的收敛半径________R，收敛域为_____________；3.1112)32()1(nnnnx的收敛域为_____________；4.已知]1,1(),1ln()1(11xxxnnnn，则1nnnx的和函数__________（并注明收敛域）；5.xexf)(的麦克劳林级数为_______________，其中x应满足___________；6.xxf11)(在0x处展开成的幂级数为__________________，其中x应满足___________；7.xxf11)(在0x处展开成的幂级数为__________________，其中x应满足___________；8.)1ln(xy的麦克劳林级数为___________________，其中x应满足___________；9.xy2sin的麦克劳林级数为___________________，其中x应满足___________；10.xycos的麦克劳林级数为___________________，其中x应满足___________；11.mxy)1(的麦克劳林级数为___________________，其中x应满足___________。二、求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：1.;1nnnx2.;1212nnnxn3.;12)1(112nnnnx4..)5()1(11nnnnx三、利用逐项求导或逐项求积分，求下列幂级数的收敛区间及其内的和函数：1.;11nnnx2.11212nnnx，并求12)12(1nnn的和。四、将下列函数展开成x的幂级数，并写出展开式成立的x的区间：-5-1.;xa2.;2sinx3.).1ln(xx五、将函数xxf1)(展开成)3(x的幂级数。六、将函数xxfln)(展开成)2(x的幂级数，并由此证明1212lnnnn。答案习题一一、1.是；2.是；3.非；4.非；5.是。二、1.11,1;1n2.;3(1)xx3.111,;naaaa4.0。三、1.C；2.B；3.C；4.D；5.D。四、1.收敛于13；2.发散。五、1.发散；2.收敛；3.发散；4.1a时收敛；1a时发散。六、1.收敛；2.发散；3.收敛；4.发散。七、1.条件收敛；2.绝对收敛；3.发散；4.绝对收敛。习题二一、1.2,e　　2,e　　12,1,0,e　　1；2.3,(3,3);3.(1,2];4.ln(1),11xx(提示：在条件中，以x取代x便可得到)。5.0,();!nnxxn6.01,(11);1nnxxx7.01(1),(11);1nnnxxx8.10ln(1)(1),(11);1nnnxxxn-6-9.2111sin,();(21)!nnxxxn10.20cos(1),();(2)!nnnxxxn11.0(1)(1)(1),(11)!mnnmmmnxxxn。二、1.1,(1,1);R2.111,[,];222R3.1,[1,1];R4.1,(4,6]R。三、1.21,(1,1);(1)x2.111212()ln,(1,1),()ln212421xsxxssx。四、1.0(ln),(,);!nxnxaaxn2.121211(1)sin,(,);2(21)!2nnnnxxxn3.20ln(1)(1),(1,1]1nnnxxxxn。五、011(3)(1),(0,6)33nnnnxxx。六、111lnln2(1)(2),(0,4],2nnnnxxxn上展式中令1x便可得到11ln22nnn。