高等计量经济学第2章第1节

第二章模型结构非经典的计量经济学问题将§1.3中总结的计量经济学模型作为经典线性计量经济学模型，在本书的各章中将分别介绍它的扩展。本章主要介绍从模型结构形式上扩展的计量经济学模型。如第一章中所述，本书所谓“经典计量经济学模型”的结构的内涵包括：变量的选择依赖于经济理论，模型所揭示的是经济变量之间的因果关系，模型关系是明确的并且是线性的，模型中的参数是不变的，等等。凡是与这些相违背的，都称为模型结构非经典的计量经济学问题。虽然非线性模型—经典线性计量经济学模型的最重要的扩展模型将单独列为一章，但是为了保持内容体系的完整性，仍然将较为传统的非线性计量经济学模型的理论方法列入本章，第五章将主要介绍现代非线性计量经济学模型理论方法。出于同样的理由，虽然协整理论是动态宏观计量经济模型的基础，在第六章中将专门详细介绍，但仍然将协整理论的基本原理和由此而来的误差修正模型的简单概念列入本章。§2.1传统的非线性单方程计量经济学模型经典的计量经济学模型理论与方法是在线性模型的基础上发展、完善起来的，因而线性计量经济学模型领域的理论与方法已经相当成熟。但是，现实经济活动并不都能抽象为线性模型，所以非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置，关于它的理论与方法的研究是计量经济学理论与方法研究中的一个广泛的领域。尤其在70年代至80年代初，关于非线性模型理论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基本假设的非线性问题的估计方法。在本书第五章将专门介绍非线性方程计量经济学模型，在本节中，只涉及一些最基本的概念，以及最简单的传统的单方程非线性模型的估计方法，为读者进一步学习第五章内容与建立非线性模型打下一个基础。一、非线性单方程计量经济学模型概述⒈解释变量非线性问题在线性计量经济学模型中我们曾经提及，现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系，但在许多情况下，又可以通过简单的变换，使之变成线性。解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模型中需求量与价格之间的关系为：11Qp通过变量置换就可以化为线性模型。经验表明，解释变量非线性问题一般都可以化为线性模型。⒉可以化为线性的包含参数非线性的问题计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但是，由于非线性模型的估计远比线性模型复杂，所以还应该尽可能地将它们化为线性问题。例如著名的Cobb-Dauglass生产函数模型QAKL和不变替代弹性(CES)生产函数模型QAKL()121在假设随机误差项的对数形式服从正态分布的情况下，即引入随机误差项后可以写成：QAKL和QAKL()121尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。对前者两边取对数得到：lnlnlnlnlnQAKL对后者两边取对数得到：lnlnln()lnQAKL112将式中ln()12KL在0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式：lnlnlnln(ln())lnQAKLKL1212212然后进行模型的估计。⒊不可以化为线性的包含参数非线性的问题不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面要讨论的真正非线性模型。它的一般表达式为：yfXiii(,)i=1,2,…,n(2.1.1)其中f是非线性函数，Xxxxiiiki(,,,)12，(,,,)12k，n为样本容量。例如，上述生产函数模型，如果随机误差项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成：QAKL和QAKL()121就是典型的非线性模型。对于这类模型，第二章中介绍的模型估计方法不再适用，必须发展新的方法估计模型，主要有非线性最小二乘法和非线性最大或然法。非线性最大或然法在第五章中是主要方法，这里只介绍非线性最小二乘法。二、非线性普通最小二乘法⒈普通最小二乘原理模型(2.1.1)中，如果随机误差项服从0均值、同方差的正态分布，且无序列相关，则可以从普通最小二乘原理出发，构造模型的估计方法。对于只有一个参数的非线性模型，(2.1.1)写成：yfxiii(,)i=1,2,…,n(2.1.2)如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即Syfxiiin()((,))21(2.1.3)最小。(2.1.3)取极小值的一阶条件为：dSdyfxdfxdiiiin((,)((,))201即((,)((,))yfxdfxdiiiin10(2.1.4)现在的问题在于如何求解非线性方程(2.1.4)。对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示(2.1.1)为：Yf(,)X(2.1.5)其中各个符号的意义与线性模型相同。向量的普通最小平方估计值应该使得残差平方和SYfYf()((,))((,))XX达到最小值。即应该满足下列条件：(())((,))((,))SfYf20XX即((,))((,))fYfXX0(2.1.6)其中((,))fX是一个（k×n）阶偏微分矩阵，其第(j,i)个元素为jifX((,))。求解(2.1.6)的原理和方法与求解(2.1.4)相同，只是数学描述更为复杂。在下面关于求解方法的讨论中，我们只以(2.1.4)为例，即以单参数非线性模型为例。⒉高斯－牛顿(Gauss-Newton)迭代法对于非线性方程组(2.1.4)，直接解法已不适用，只能采用迭代解法，高斯－牛顿迭代法就是较为实用的一种。⑴高斯－牛顿迭代法的原理迭代是从（2.1.3)出发的。根据经验给出参数估计值的初值()0，将(2.1.3)中的fxi(,)在()0处展开台劳级数，取一阶近似值。即有：fxfxdfxdiii(,)(,)(,)()()()()000(2.1.7)令zdfxdii()(,)于是zdfxdii()(,)()()00代入(2.1.3)，得到：Syfxziiiin()((,)()())()()()00012((,)()())()()()()yfxzziiiiin000012(~()())()()yziini0102(2.1.8)其中~()(,)()()()()()yyfxziiii0000，可见，一旦给出参数估计值的初值()0，可以计算出(2.1.8)中的~()()yi0和zi()()0的确定的观测值。于是，将(2.1.3)取极小值变成对(2.1.8)取极小值。如果有一个线性模型：iiizy)ˆ()ˆ(~)0()0((2.1.9)很容易求得其参数的普通最小二乘估计值()1，该估计值使得残差平方和Syziini()(~()())()()()()101012(2.1.10)最小。比较(2.1.8)与(2.1.10)后发现，满足使(2.1.10)达到最小的估计值()1同时也是使(2.1.8)达到最小的。换句话说，线性模型(2.1.9)的普通最小二乘估计值就是模型(2.1.2)的一个近似估计值。因为它是在给定参数估计值的初值()0的情况下得到的，将它记作为参数估计值的第一次迭代值()1。它是通过对线性模型(2.1.9)进行普通最小二乘估计而得到的，而线性模型(2.1.9)实际上并不存在，故称之为线性伪模型。将()1作为的新的给定值，将(2.1.3)中的fxi(,)在()1处展开台劳级数，取一阶近似值，又可以构造一个新的线性伪模型，对其进行普通最小二乘估计，得到的第二次迭代值()2。…如此迭代下去，直到收敛（连续两次得到的参数估计值之差满足确定的标准）。至此完成了非线性模型(2.1.2)的普通最小二乘估计。⑵高斯－牛顿迭代法的步骤在对上述采用高斯－牛顿迭代法实现非线性模型参数最小二乘估计的原理了解之后，可以将高斯－牛顿迭代法的步骤简洁地归纳如下：第一步：给出参数估计值的初值()0，将fxi(,)在()0处展开台劳级数，取一阶近似值；第二步：计算zdfxdii(,)()0和~(,)()()yyfxziiii00的样本观测值；第三步：采用普通最小二乘法估计模型iiizy~，得到的估计值()1；第四步：用()1代替第一步中的()0，重复这一过程，直至收敛。⒊牛顿－拉夫森(Newton-Raphson)迭代法牛顿－拉夫森迭代法作为高斯－牛顿迭代法的改进，当给出参数估计值的初值()0，将(2.1.3)式在()0处展开台劳级数，取二阶近似值。即SSdSddSd()()()()()()()()()()()0022020012(2.1.11)这里与高斯－牛顿迭代法有两点不同：一是直接对S()展开台劳级数，而不是对其中的fxi(,)展开；二是取二阶近似值，而不是取一阶近似值。使(2.1.11)达到极小的条件是：dSd()0注意，这里的)ˆ(S已经用(2.1.11)的近似式代入，而不是(2.1.3)。再对ˆ)ˆ(ddS取一阶近似，则有：dSddSddSd()()()()()()()002200于是得到(())()()()()022100dSddSd(2.1.12)由(2.1.12)得到的并不是最后的参数估计值，将它作为第一次迭代值()1，再进行上述过程，直至收敛。无论是高斯－牛顿迭代法还是牛顿－拉夫森迭代法，都存在一个问题，即如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？这就需要选择不同的初值，进行多次迭代求解。非线性普通最小二乘法早已经出现在计量经济学应用软件中，即使是目前使用最为普遍、最为简单的TSP6.5中也有非线性普通最小二乘法估计方法。在选择了该估计方法、给定参数初始值后，只要将非线性方程的形式输入，例如将Cobb-Dauglass生产函数模型输入为：Q=c(1)*K^c(2)*L^c(3)就可以得到参数A,,的估计量c(1)、c(2)和c(3)。三、讨论：一个例子下面分别用线性化后的普通最小二乘法和非线性普通最小二乘法进行一个实际模型的估计。模型的目的是分析农民收入的增长是由哪些因素决定的，以及各个因素的贡献，进行研究提高农民收入的措施。例2.1.1经过反复模拟，剔除从直观上看可能对农民收入产生影响但实际上并不显著的变量后，得到如下结论：改革开放以来，影响我国农民收入总量水平的主要因素是从事非农产业的农村劳动者人数、农副产品收购价格和农业生产的发展规模。用I表示农民纯收入总量水平、Q表示农业生产的发展规模、P表示农副产品收购价格、L表示从事非农产业的农村劳动者人数。收入采用当年价格；农业生产的发展规模以按可比价格计算的、包括种植业、林业、牧业、副业和渔业的农业总产值指数为样本数据；农副产品收购价格以价格指数为样本数据。所有样本数据列于表2.1.1中。表2.1.1农民收入及相关变量数据年份I（10亿元）Q(1978=100)P(1978=100)L（100万人）197862.45100.0100.031.52197979.30107.5122.131.90198096.50109.0130.835.021981107.65115.3138.536.921982120.8