高三理数一轮复习第九章圆锥曲线与方程

第九章圆锥曲线与方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，故所求方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b＝6，则不妨设椭圆的方程是x2m＋y26＝1，则将点A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是x212＋y26＝1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，则可知B(－2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212＋y26＝1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).(2)由(1)知mn＝43b2，所以21FPFS＝12mnsin60°＝33b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.【变式训练2】已知P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝14和圆(x－4)2＋y2＝14上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组.1,2222byaxcxy化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|⇒kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1⇒c＝3.从而a＝32，b＝3，故E的方程为x218＋y29＝1.【变式训练3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值是()A.32B.33C.22D.63【解析】设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x＝－a2c，抛物线准线为x＝－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)⇒c2a2＝13⇒e＝33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，故点E的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使PQAP＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x，y)，则由PQAP＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①又P在双曲线上，得x2a2－y2b2＝1，②由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x＝2a3－ab2a2＋b2时，满足题意的点P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，所以离心率的取值范围是(1，62).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故选C.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③则x≠0，|x|＜2.而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.代入③式整理得x22＋y2＝1.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x＋2y－2＝0.解方程组12,02222yxyx得x＝2，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).综上分析，轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，联立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，解得k1＝h2－12，k2＝－h2－12.由于l1⊥l2，则k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h2)＝－1，得h＝2.此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2，它们与轨迹E分别仅有一个交点(－23，223)与(23，223).所以，符合条件的h的值为3